Lösung Abitur Bayern 2024 Mathematik Stochastik III

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1c (4 BE)

Ermitteln Sie, wie viele Pakete mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass darunter mindestens eine Retoure ist, größer als 90 % ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1c

Binomialverteilung

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Text analysieren und Daten herauslesen:

"... die Wahrscheinlichkeit dafür...größer als 90 % ist"

\Rightarrow

P > 0, 9

"... dass darunter mindestens eine Retoure "

\Rightarrow

X \geq 1

Es muss also gelten:

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Kette

Das Zufallsexperiment kann als Bernoulli-Kette der Länge

n

(Anzahl Retouren) mit der Trefferwahrscheinlichkeit

p = 0, 2

angesehen werden.

P_{0, 2}^{n} (X \geq 1) > 0, 9

Schritt einblenden / ausblenden

Gegenereignis

Wahrscheinlichkeiten des Typs

P (mind. 1 Treffer)

können meist leicht über das Gegenereignis bestimmt werden.

P (mind. 1 Treffer) = 1 - P (kein Treffer)

1 - P_{0, 2}^{n} (X = 0) > 0, 99

Schritt einblenden / ausblenden

Bernoulli-Formel

Die Wahrscheinlichkeit genau

k

Treffer bei

n

Versuchen zu erzielen beträgt:

P (k Treffer) = P_{p}^{n} (Z = k) = (\binom{n}{k}) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Dabei ist:

n =

Anzahl der Versuche

k =

Anzahl der Treffer

p =

Wahrscheinlichkeit eines Treffers pro Versuch

1 - p =

Wahrscheinlichkeit einer Niete pro Versuch

Spezialfall

k = 0

P (0 Treffer) = P_{p}^{n} (Z = 0) = \underset{1}{\underset{︸}{(\binom{n}{0})}} \cdot \underset{1}{\underset{︸}{p^{0}}} \cdot (1 - p)^{n - 0}

\Rightarrow P (0 Treffer) = (1 - p)^{n}

1 - 0, 8^{n} > 0, 9

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

1 - 0, 8^{n} > 0, 9

|

- 1

- 0, 8^{n} > - 0, 1

|

\cdot (- 1)

(da die Ungleichung mit einer negative Zahl multipliziert wird, ändert sich das Relationszeichen)

0, 8^{n} < 0, 1

0, 8^{n} < 0, 1

Schritt einblenden / ausblenden

Rechenweg

0, 8^{n} < 0, 1

|

\ln ()

\ln (0, 8^{n}) < \ln (0, 1)

n \cdot \ln (0, 8) < \ln (0, 1)

|

: \ln (0, 8)

(da die Ungleichung durch eine negative Zahl geteilt wird, ändert sich das Relationszeichen)

n > \frac{\ln 0, 1}{\ln 0, 8}

n > \frac{\ln 0, 1}{\ln 0, 8}

n > 10, 32

n \geq 11

kleinster Wert

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Binomialverteilung

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