Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 2d (7 BE)

Die Graphen von

h_{k}

und

h_{k}^{'}

werden in der Abbildung 3 für

k = 4

beispielhaft für gerade Werte von

k

gezeigt, in der Abbildung 4 für

k = 5

beispielhaft für ungerade Werte von

k

.
Für

k \geq 4

werden die Punkte

P (4 | h_{k} (4))

Q (4 | h_{k}^{'} (4))

R (2 | h_{k} (2))

und

S (2 | h_{k}^{'} (2))

betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.

Begründen Sie, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeigen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Für jeden geraden Wert von $k$ mit $k \geq 4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k + 1$ überein.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 2d

Eigenschaften eines Trapezes

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P (4 | h_{k} (4))

Q (4 | h_{k}^{'} (4))

R (2 | h_{k} (2))

und

S (2 | h_{k}^{'} (2))

Sowohl

P

und

Q

als auch

R

und

S

haben übereinstimmende

x

-Koordinaten. Somit sind

[PQ]

und

[RS]

parallel. Das Viereck

PQRS

ist ein Trapez.

Flächeninhalt eines Trapezes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

h_{k} (x) = (x - 3)^{k} + 1

h_{k}^{'} (x) = k \cdot (x - 3)^{k - 1}

(s. Teilaufgabe Teil B 2c)

h_{k} (2) = (- 1)^{k} + 1

h_{k} (4) = 2

h_{k}^{'} (2) = k \cdot (- 1)^{k - 1}

h_{k}^{'} (4) = k

Für

k

gerade und

k \geq 4

hat das Trapez für

k

die Eckpunkte

P (4 | 2)

Q (4 | k)

R (2 | 2)

und

S (2 | - k)

und somit ein Flächeninhalt

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Trapezes

Ein Trapez mit den Grundseiten

a

und

b

und der Höhe

h

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h

Aus Abb. 3 ist ersichtlich, dass die Grundseite

[QP]

eine Länge von

k - 2

und die Grundseite

[RS]

eine Länge von

2 - (- k)

hat. Die Höhe des Trapezes ist die Länge der Seite

[RP]

, also

4 - 2 = 2

\frac{1}{2} \cdot ((k - 2) + (2 - (- k))) \cdot 2 = 2 k

Für

k

gerade und

k \geq 4

hat das Trapez für

k + 1

die Eckpunkte

P (4 | 2)

Q (4 | k + 1)

R (2 | 0)

und

S (2 | k + 1)

und somit ein Flächeninhalt

Schritt einblenden / ausblenden

Flächeninhalt eines Trapezes

Ein Trapez mit den Grundseiten

a

und

b

und der Höhe

h

hat einen Flächeninhalt von:

A = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h

Aus Abb. 4 ist ersichtlich, dass die Grundseite

[QP]

eine Länge von

k + 1 - 2

und die Grundseite

[SR]

eine Länge von

k + 1

hat. Die Höhe des Trapezes ist die Länge der Seite

[SQ]

, also

4 - 2 = 2

\frac{1}{2} \cdot ((k + 1 - 2) + (k + 1)) \cdot 2 = 2 k

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Themen dieser Aufgabe:

Eigenschaften eines Trapezes

Flächeninhalt eines Trapezes

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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