Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Infinitesimalrechnung II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1a (3 BE)

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.
An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in

ℝ

definierten Funktion

f

mit

f (x) = x \cdot (8 - 5 x) \cdot {(1 - \frac{x}{4})}^{2} = - \frac{5}{16} x^{4} + 3 x^{3} - 9 x^{2} + 8 x

beschrieben werden. Dabei gibt

x

die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und

f (x)

die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde an.
Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von

f

für

0 \leq x \leq 4

.
Für die erste Ableitungsfunktion von

f

gilt

f^{'} (x) = (5 x^{2} - 16 x + 8) \cdot (1 - \frac{x}{4})

Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms von

f

, dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

Nullstellen einer Funktion

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f (x) = 0

x \cdot (8 - 5 x) \cdot {(1 - \frac{x}{4})}^{2} = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

Alle Terme werden einzeln untersucht.

x_{1} = 0

8 - 5 x = 0

\Rightarrow

x_{2} = \frac{8}{5} = 1, 6

{(1 - \frac{x}{4})}^{2} = 0

\Rightarrow

1 - \frac{x}{4} = 0

\Rightarrow

x_{3} = 4

(doppelte Nullstelle)

Zeitpunkte:

t_{1} =

6:00 Uhr

\frac{8}{5} \cdot 60 = 96

Minuten nach 6:00 Uhr, d.h.

t_{2} =

7:36 Uhr

t_{3} =

4 Stunden nach 6:00 Uhr, also 10:00 Uhr

Der Funktionsterm von

f

besteht aus dem Produkt von 3 Termen. Damit hat

f

genau 3 Nullstellen.

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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