Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f (5 BE)

Auf der Kante

[AD]

liegt der Punkt

Q

, auf der Kante

[BE]

der Punkt

R (0 | 6 | 2)

. Das Dreieck

FQR

hat in

Q

einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die

x_{3}

-Koordinate von

Q

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gerade

g_{AD}

druch

A

und

D

aufstellen:

\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn

A

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{A}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

g_{AD}

g_{AD} : \vec{X} = \underset{\vec{A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})}} + μ \cdot \underset{\vec{AD}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{matrix})}}

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Q \in g_{AD}

\Rightarrow

Q (6 | 3 | 6 μ)

Lagebeziehung von Vektoren

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\vec{QF} = \vec{F} - \vec{Q} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 12 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 6 μ \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 12 - 6 μ \end{matrix})

\vec{QR} = \vec{R} - \vec{Q} = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 6 μ \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 2 - 6 μ \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\vec{QF} \circ \vec{QR} = 0

(\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 12 - 6 μ \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 2 - 6 μ \end{matrix}) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren.

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}

18 - 9 + (12 - 6 μ) \cdot (2 - 6 μ) = 0

9 + 24 - 72 μ - 12 μ + 36 μ^{2} = 0

36 μ^{2} - 84 μ + 33 = 0

|

: 3

12 μ^{2} - 28 μ + 11 = 0

μ_{1, 2} = \frac{- (- 28) \pm \sqrt{(- 28)^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 11}}{2 \cdot 12} = \frac{28 \pm \sqrt{256}}{24} = \frac{28 \pm 16}{24}

(μ_{1} = \frac{11}{6})

μ_{2} = \frac{1}{2}

x_{3} = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

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Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Lage eines Punktes

Lagebeziehung von Vektoren

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