Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B e (4 BE)

Die Ebene

N_{k}

enthält die

x_{3}

-Achse und den Punkt

P_{k} (1 - k | k | 0)

mit

k \in] 0; 1 [

. Welche Kanten des Körpers von

N_{k}

geschnitten werden, ist abhängig von

k

. Durchläuft

k

alle Werte zwischen 0 und 1, so gibt es Bereiche

] a; b [

, für die jeweils gilt, dass

N_{k}

für alle Werte von

k \in] a; b [

die gleichen Kanten des Körpers schneidet. Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche und geben Sie die zugehörigen Kanten an.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B e

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gerade

g

druch

O

und

A

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn hier

O

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{O} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

g

g : \vec{X} = λ \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

Lage eines Punktes

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

P_{k} \in g

\Leftrightarrow

(\begin{matrix} 1 - k \\ k \\ 0 \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

\begin{matrix} 1 - k & = & 6 λ \\ k & = & 3 λ & \Rightarrow & λ = \frac{k}{3} \\ 0 & = & 0 \end{matrix}

1 - k = 6 \cdot \frac{k}{3}

1 = 3 k

\Rightarrow

k = \frac{1}{3}

Lagebeziehung Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Bereich:

] \frac{1}{3}; 1 [

Kanten:

[AB]

[DE]

[CB]

[EF]

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Überlegungen:

1. Für

k = 0

liegt

P_{0}

auf der

x_{1}

-Achse. Die Ebene

N_{0}

ist somit die

x_{1} x_{3}

-Ebene (sie enthält ja die

x_{3}

-Achse).

2. Für

k = 1

liegt

P_{1}

auf der

x_{2}

-Achse. Die Ebene

N_{1}

ist somit die

x_{2} x_{3}

-Ebene (sie enthält ja die

x_{3}

-Achse).

3. Lässt man

k

von 0 bis 1 laufen, so dreht sich die

x_{1} x_{3}

-Ebene gegen den Uhrzeigersinn, bis sie die

x_{2} x_{3}

-Ebene erreicht. Dabei schneidet

N_{k}

verschiede Kanten des Körpers.

4. Am Anfang der Rotation schneidet

N_{k}

die Kanten

[AC]

[BC]

[DF]

und

[EF]

.

5. Für

k = \frac{1}{3}

enthält

N_{k}

den Punkt

A

.

6. Für

k > \frac{1}{3}

schneidet

N_{k}

die Kanten

[AB]

[DE]

[CB]

und

[EF]

.

7. Für

0 < k < \frac{1}{3}

schneidet

N_{k}

immer dieselben Kanten (s. Punkt 4). Für

\frac{1}{3} < k < 1

schneidet

N_{k}

auch immer dieselben Kanten (s. Punkt 5)

Gefragt ist, welcher der Bereiche der größte ist (von der Länge). Das ist der Bereich

] \frac{1}{3}; 1 [

.
Für

k \in] \frac{1}{3}; 1 [

schneidet

N_{k}

die Kanten

[AB]

[DE]

[CB]

und

[EF]

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Lage eines Punktes

Lagebeziehung Gerade und Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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