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Abitur 2023 Mathematik Analytische Geometrie VI

Gegeben sind die Punkte A ( 3 | 5 | 5 ) und B ( 1 | 1 | 1 ) sowie die Geraden g und h , die sich in B schneiden. Die Gerade g hat den Richtungsvektor ( 1 2 2 ) , die Gerade h den Richtungsvektor ( 1 0 0 ) .
Weisen Sie nach, dass A auf g liegt.

Bestimmen Sie die Koordinaten zweier Punkte C und D so, dass C auf h liegt und das Viereck ABCD eine Raute ist.

Die Abbildung zeigt den Körper ABCDEF mit A ( 6 | 3 | 0 ) , B ( 0 | 6 | 0 ) , C ( 3 | 0 | 0 ) , D ( 6 | 3 | 6 ) , E ( 0 | 6 | 6 ) und F ( 3 | 0 | 12 ) .
Die Punkte D , E und F liegen in der Ebene L .

Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: 2 x 1 + 4 x 2 + 3 x 3 - 42 = 0 )

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den L mit der x 1 x 2 -Ebene einschließt.

Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann mit dem Term 6 ⋅ 6 - 1 2 ⋅ 3 ⋅ 3 - 2 ⋅ 1 2 ⋅ 3 ⋅ 6 berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung.

Berechnen Sie das Volumen des Körpers ABCDEF .

Die Ebene N k enthält die x 3 -Achse und den Punkt P k ( 1 - k | k | 0 ) mit k ∈ ] 0 ; 1 [ . Welche Kanten des Körpers von N k geschnitten werden, ist abhängig von k . Durchläuft k alle Werte zwischen 0 und 1, so gibt es Bereiche ] a ; b [ , für die jeweils gilt, dass N k für alle Werte von k ∈ ] a ; b [ die gleichen Kanten des Körpers schneidet. Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche und geben Sie die zugehörigen Kanten an.

Auf der Kante [ AD ] liegt der Punkt Q , auf der Kante [ BE ] der Punkt R ( 0 | 6 | 2 ) . Das Dreieck FQR hat in Q einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die x 3 -Koordinate von Q .

Der Körper wird so um die Gerade AB gedreht, dass der mit D bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der x 1 x 2 -Ebene liegt und dabei eine positive x 2 -Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:

( 6 - 3 0 ) ∘ [ ( 0 6 0 ) + λ ⋅ ( 6 - 3 0 ) - ( 3 0 0 ) ] = 0 ⇔ λ = 0 , 8 , d.h. S ( 4 , 8 | 3 , 6 | 0 )

T → = S → + | C S → | ⋅ ( 0 0 1 )

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von S an.

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Lösungen zu:
Teilaufgabe Teil A a
Teilaufgabe Teil A b
Teilaufgabe Teil B a
Teilaufgabe Teil B b
Teilaufgabe Teil B c
Teilaufgabe Teil B d
Teilaufgabe Teil B e
Teilaufgabe Teil B f
Teilaufgabe Teil B g
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