Lösung Abitur Bayern 2023 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (4 BE)

Die Abbildung zeigt den Körper

ABCDEF

mit

A (6 | 3 | 0)

B (0 | 6 | 0)

C (3 | 0 | 0)

D (6 | 3 | 6)

E (0 | 6 | 6)

und

F (3 | 0 | 12)

.
Die Punkte

D

E

und

F

liegen in der Ebene

L

Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Koordinatenform.

(zur Kontrolle:

2 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} - 42 = 0

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

D (6 | 3 | 6)

E (0 | 6 | 6)

F (3 | 0 | 12)

Richtungsvektoren der Ebene

L

bestimmen:

\vec{DE} = \vec{E} - \vec{D} = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

\vec{DF} = \vec{F} - \vec{D} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 12 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 6 \end{matrix})

D

sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

L

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{L}}

der Ebene

L

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{DE} \times \vec{DF} = (\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 - 0 \\ 0 + 36 \\ 18 + 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 18 \\ 36 \\ 27 \end{matrix}) = 9 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor mit

\frac{1}{9}

multipliziert.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\Rightarrow

\vec{n_{L}} = \frac{1}{9} \cdot 9 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

D

ist Aufpunkt):

L : \underset{\vec{n_{L}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{D}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix})}}

L : 2 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} = 12 + 12 + 18

L : 2 x_{1} + 4 x_{2} + 3 x_{3} - 42 = 0

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!