Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B h (5 BE)

Von den Eckpunkten des Rechtecks

ABCD

liegen der Punkt

A (s | 0)

mit

s \in] 0; 5 [

sowie der Punkt

B

auf der x-Achse, die Punkte

C

und

D

liegen auf

G_{f}

. Das Rechteck besitzt somit die Gerade mit der Gleichung

x = 5

als Symmetrieachse. Zeigen Sie, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die Länge 10 besitzen.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B h

Länge einer Strecke

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f (x) = 2 \sqrt{10 x - x^{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

Symmetrieverhalten

Wegen der Symmetrie zur Geraden

x = 5

ist die x-Koordinate des Punktes

B

gleich

10 - s

B (10 - s | 0)

Schritt einblenden / ausblenden

Punktkoordinaten

Der Punkt

C

hat die x-Koordinate des Punktes

B

und liegt auf dem Graph von

f

C (10 - s | f (10 - s))

C (10 - s | 2 \sqrt{10 (10 - s) - (10 - s)^{2}})

C (10 - s | 2 \sqrt{100 - 10 s - 100 + 20 s - s^{2}})

C (10 - s | 2 \sqrt{10 s - s^{2}})

\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\binom{10 - s}{2 \sqrt{10 s - s^{2}}}) - (\binom{s}{0}) = (\binom{10 - 2 s}{2 \sqrt{10 s - s^{2}}})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{A C} | = \sqrt{(10 - 2 s)^{2} + {(2 \sqrt{10 s - s^{2}})}^{2}} = \sqrt{100 - 40 s + 4 s^{2} + 40 s - 4 s^{2}} = 10

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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