Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 4b (4 BE)

Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von

f_{a}

im Punkt

(0 | f_{a} (0))

.
Bestimmen Sie diejenigen Werte von

a

, für die diese Tangente eine positive Steigung hat und zudem die x-Achse in einem Punkt schneidet, dessen x-Koordinate größer als

\frac{1}{2}

ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 4b

Tangentengleichung ermitteln

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f_{a} (x) = a \cdot e^{- x} + 3

f_{a}^{'} (x) = - a \cdot e^{- x}

f_{a} (0) = a + 3

f_{a}^{'} (0) = - a

Schritt einblenden / ausblenden

Gleichung der Tangente

Formel für die Tangentengleichung:

t (x) = (x - x_{0}) \cdot f^{'} (x_{0}) + f (x_{0})

Hier ist

x_{0} = 0

t : y = (x - 0) \cdot f_{a}^{'} (0) + f_{a} (0)

t : y = - a x + a + 3

Schritt einblenden / ausblenden

- a > 0

\Rightarrow

a < 0

Schritt einblenden / ausblenden

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der x-Achse bedeutet:

y = 0

- a x + a + 3 = 0

- a x = - a - 3

| : (- a)

(a \neq 0)

x = \frac{a + 3}{a} = 1 + \frac{3}{a}

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die x-Koordinate des Schnittpunkts soll größer sein als

\frac{1}{2}

1 + \frac{3}{a} > \frac{1}{2}

| - 1

\frac{3}{a} > - \frac{1}{2}

| \cdot a

(a < 0)

(da die Ungleichung mit einer negative Zahl multipliziert wird, ändert sich das Relationszeichen)

3 < - \frac{1}{2} a

| \cdot (- 2)

- 6 > a

a < - 6

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Tangentengleichung ermitteln

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
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