Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 2a (2 BE)

Gegeben ist die in

ℝ^{+}

definierte Funktion

g : x \mapsto \frac{4}{x}

. Abbildung 1 zeigt den Graphen von

g

Berechnen Sie den Wert des Integrals

\int_{1}^{e} g (x) dx

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 2a

Bestimmtes Integral

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\int_{1}^{e} g (x) dx = \int_{1}^{e} \frac{4}{x} dx

Schritt einblenden / ausblenden

Ausklammern

Rechenregeln für Integrale

Allgemein gilt folgende Rechenregel für Integrale:

\int_{a}^{b} c \cdot f (x) d x

=

c \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x

Der Faktor

4

wird aus dem Integral ausgeklammert, damit im Integral die Funktion

\frac{1}{x}

stehen bleibt.

\int_{1}^{e} g (x) dx = 4 \cdot \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx

Schritt einblenden / ausblenden

Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

\frac{1}{x}

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int \frac{g^{'} (x)}{g (x)} dx = \ln | g (x) | + C

\Rightarrow

\int \frac{1}{x} dx = \ln | x |

\int_{1}^{e} g (x) dx = {[4 \ln | x |]}_{1}^{e}

Schritt einblenden / ausblenden

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

\int_{1}^{e} g (x) dx = 4 \underset{1}{\underset{︸}{\ln e}} - 4 \underset{0}{\underset{︸}{\ln 1}} = 4

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Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Teilaufgabe Teil B h

Teilaufgabe Teil B i

Teilaufgabe Teil B j

Teilaufgabe Teil B k

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Themen dieser Aufgabe:

Bestimmtes Integral

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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