Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (5 BE)

Berechnen Sie die Größe

φ

des Winkels, unter dem

E

die

x_{1} x_{2}

-Ebene schneidet. Geben Sie einen Term an, mit dem aus

φ

die Größe des Winkels zwischen den Ebenen

E

und

F

berechnet werden kann.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Winkel zwischen zwei Ebenen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E :

14 x_{1} + 14 x_{2} + 11 x_{3} - 308 = 0

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{matrix})

Normalenvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene:

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Ebenen

Der Winkel

α

zwischen zwei Ebenen

E

und

G

ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren

\vec{n_{E}}

und

\vec{n_{G}}

Winkel

φ

zwischen den Normalenvektoren der Ebene

E

und der

x_{1} x_{2}

-Ebene bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos φ = \frac{(\begin{matrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Für den Richtungsvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

gilt z.B:

| \vec{n} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = 1

\cos φ = \frac{0 + 0 + 11}{\sqrt{14^{2} + 14^{2} + 11^{2}} \cdot 1} = \frac{11}{\sqrt{513}}

\Rightarrow

φ = \cos^{- 1} (\frac{11}{\sqrt{513}}) \approx 60, 94^{\circ}

Lagebeziehung von Ebenen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Term:

180^{\circ} - 2 φ

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Ebenen

Lagebeziehung von Ebenen

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!