Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c (4 BE)

Die Ebene

E

enthält die Punkte

A

B

und

C

, die Ebene

F

die Punkte

B

C

und

D

Bestimmen Sie eine Gleichung von

E

in Koordinatenform.

(zur Kontrolle:

14 x_{1} + 14 x_{2} + 11 x_{3} = 308

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

A (11 | 11 | 0)

B (- 11 | 11 | 28)

C (11 | - 11 | 28)

Richtungsvektoren der Ebene

E

bestimmen:

\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} - 11 \\ 11 \\ 28 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 22 \\ 0 \\ 28 \end{matrix})

\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{matrix} 11 \\ - 11 \\ 28 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 22 \\ 28 \end{matrix})

A

sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

E

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{AB} \times \vec{AC} = (\begin{matrix} - 22 \\ 0 \\ 28 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ - 22 \\ 28 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 22 \cdot 28 \\ 22 \cdot 28 \\ 22 \cdot 22 \end{matrix}) = 22 \cdot (\begin{matrix} 28 \\ 28 \\ 22 \end{matrix}) = 44 \cdot (\begin{matrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor mit

\frac{1}{44}

multipliziert.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = \frac{1}{44} \cdot 44 \cdot (\begin{matrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

A

ist Aufpunkt):

E : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 14 \\ 14 \\ 11 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{matrix})}}

E : 14 x_{1} + 14 x_{2} + 11 x_{3} = 154 + 154 + 0

E : 14 x_{1} + 14 x_{2} + 11 x_{3} - 308 = 0

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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