Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A a (3 BE)

Wird der Punkt

P (1 | 2 | 3)

an der Ebene

E

gespiegelt, so ergibt sich der Punkt

Q (7 | 2 | 11)

Bestimmen Sie eine Gleichung von

E

in Koordinatenform.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A a

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

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P (1 | 2 | 3)

Q (7 | 2 | 11)

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

bestimmen:

\vec{n_{E}} = \vec{P Q} = \vec{Q} - \vec{P} = (\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 11 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{matrix})

Mittelpunkt einer Strecke

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Mittelpunkt

M

zwischen

P

und

Q

Schritt einblenden / ausblenden

Mittelpunkt einer Strecke

Die Formel für die Berechnung des Mittelpunktes

M

zwischen zwei Punkten

A

und

B

lautet:

\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{A} + \vec{B})

\vec{M} = \frac{1}{2} \cdot [(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 7 \\ 2 \\ 11 \end{matrix})] = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})

\Rightarrow M (4 | 2 | 7)

Ebenengleichung in Normalenform

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Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

M

ist Aufpunkt):

E : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 8 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{M}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{matrix})}}

E : 6 x_{1} + 8 x_{3} = 24 + 0 + 56

E : 6 x_{1} + 8 x_{3} - 80 = 0

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus Punkt und Normalenvektor

Mittelpunkt einer Strecke

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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