Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f (5 BE)

Von der Boje aus taucht der Fotograf senkrecht bezüglich der Wasseroberfläche nach unten bis zu einer Stelle, deren Abstand zum Meeresboden genau drei Meter beträgt und im Modell durch den Punkt

K

dargestellt wird.

Bestimmen Sie rechnerisch, welche Tiefe unter der Wasseroberfläche der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Senkrechte Gerade

l

durch

O

(also parallel zur

x_{3}

-Achse) aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn hier

O

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{O}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

l

l : \vec{X} = \underset{\vec{O}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}} + μ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

l : \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ μ \end{matrix})

\Rightarrow

K (0 | 0 | μ)

Abstand Punkt - Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E : 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} + 35 = 0

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Normalenvektor der Ebene

| \vec{n_{E}} | = | (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) | = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3

Hesse-Normalenform

E^{HNF}

der Ebene aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hesse-Normalenform der Ebene

Die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

einer Ebene

E

entsteht durch Teilung der Normalenform der Ebene

E

mit dem Betrag des Normalenvektors

| \vec{n_{E}} |

.

Beispiel:

E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4 = 0

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

| \vec{n_{E}} | = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

E^{HNF} : \frac{1}{3} (2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} + 35) = 0

Abstand Ebene zu Geradenpunkt gleich 3 setzen:

Schritt einblenden / ausblenden

Abstand Punkt - Ebene

Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes

P

in die Hesse-Normalenform

E^{HNF}

der Ebene

E

(zwischen Betragsstriche), bestimmt man den Abstand

d (P, E)

des Punktes zur Ebene.

Beispiel:

E^{HNF} : \frac{1}{3} \cdot (x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} - 4) = 0

P (1 | 3 | - 6)

d (P, E) = | \frac{1}{3} \cdot (1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot (- 6) - 4) | = | - \frac{9}{3} | = 3

| \frac{1}{3} (0 + 0 + 2 μ + 35) | = 3

| \frac{1}{3} (2 μ + 35) | = 3

\frac{2 μ + 35}{3} = \pm 3

\Rightarrow

μ = - 13

(μ = - 22)

Tauchtiefe: 13 m

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Abstand Punkt - Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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