Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B e (4 BE)

Ein Fotograf soll für ein Reisemagazin Unterwasserfotos aufnehmen.

Der Fotograf schwimmt entlang der kürzestmöglichen Strecke von der Uferlinie aus zur Boje. Ermitteln Sie die Länge dieser Strecke.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B e

Abstand Punkt - Gerade

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Abstand von

O

g : \vec{X} = (\begin{matrix} - 12 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Hilfsebene

Um den Abstand zwischen einer Geraden

g

und einen Punkt

M

bestimmen zu können, bildet man eine Hilfsebene

H

die den Punkt

M

beinhaltet und senkrecht zur Geraden

g

steht.

Diese Ebene schneidet dann die Gerade

g

in einem Punkt

F

. Der Abstand entspricht dann der Länge der Strecke

[MF]

Hilfsebene

H

durch

O

senkrecht zu

g

aufstellen:

\vec{n_{H}} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E

\vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

O

ist Aufpunkt):

H : \underset{\vec{n_{H}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{O}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}}

H : x_{1} + 2 x_{2} = 0

Ebene

H

und Gerade

g

schneiden:

H \cap g

\begin{matrix} H \cap g : & - 12 + λ + 2 \cdot (11 + 2 λ) & = & 0 \\ - 12 + λ + 22 + 4 λ & = & 0 \\ 5 λ + 10 & = & 0 \\ λ & = & - 2 \end{matrix}

λ = - 2

g

einsetzen und Schnittpunkt

F

bestimmen:

\vec{F} = (\begin{matrix} - 12 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}) - 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 14 \\ 7 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow

F (- 14 | 7 | 0)

Abstand von

O

F

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{OF} | = | (\begin{matrix} - 14 \\ 7 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{(- 14)^{2} + 7^{2} + 0} = \sqrt{245} = \sqrt{7^{2} \cdot 5} = 7 \sqrt{5}

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Themen dieser Aufgabe:

Abstand Punkt - Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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