Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (3 BE)

In einem Modell für einen Küstenabschnitt am Meer beschreibt die

x_{1} x_{2}

-Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die Gerade

g

die Uferlinie. Die Ebene

E

stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden dar. Eine Boje schwimmt auf der Wasseroberfläche an der Stelle, die dem Koordinatenursprung

O

entspricht (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Realität.

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Meeresboden gegenüber der Wasseroberfläche abfällt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Winkel zwischen zwei Ebenen

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E

2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = - 35

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Normalenvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene:

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Winkel zwischen zwei Ebenen

Der Winkel

α

zwischen zwei Ebenen

E

und

G

ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren

\vec{n_{E}}

und

\vec{n_{G}}

Winkel

φ

zwischen den Normalenvektoren der Ebene

E

und der

x_{1} x_{2}

-Ebene bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos φ = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Für den Richtungsvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

gilt z.B:

| \vec{n} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = 1

\cos φ = \frac{0 + 0 + 2}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2} + 2^{2}} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{9}}

\Rightarrow

φ = \cos^{- 1} (\frac{2}{3}) \approx 48, 19^{\circ}

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Ebenen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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