Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B b (5 BE)

Bestimmen Sie eine Gleichung von

E

in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade

g

E

liegt.

(zur Kontrolle:

E : 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} + 35 = 0

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{RP} \times \vec{RQ} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ - 3 \\ 6 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor mit

\frac{1}{3}

multipliziert.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{matrix} 6 \\ - 3 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E

\vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

P

ist Aufpunkt):

E : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{P}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ - 19 \end{matrix})}}

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren.

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}

E

2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = 8 - 5 - 38

E

2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = - 35

Lagebeziehung Gerade und Ebene

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

g : \vec{X} = (\begin{matrix} - 12 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Ebene

E

und Gerade

g

schneiden:

E \cap g

\begin{matrix} E \cap g : & 2 (- 12 + λ) - (11 + 2 λ) + 2 \cdot 0 & = & - 35 \\ - 24 + 2 λ - 11 - 2 λ & = & - 35 \\ - 35 & = & - 35 & (wahre Aussage) \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Lagebeziehung von Ebene und Gerade

Mögliche Lagen einer Gerade zu einer Ebene:
enthalten, parallel, Schnitt (Schnittpunkt)

Überprüfung: Ebene und Gerade scheiden.

Möglichkeiten:

Parameter bleibt stehen (z.B.

λ = 1

)

\Rightarrow

Schnittpunkt

Parameter fällt weg und die Aussage ist wahr (z.B. 0 = 0)

\Rightarrow

Gerade ist in der Ebene enthalten

Parameter fällt weg und die Aussage ist falsch (z.B. 2 = 1)

\Rightarrow

Gerade liegt parallel zur Ebene

\Rightarrow

g

ist in

E

enthalten

(g \subset E)

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

Teilaufgabe Teil A b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Ebenengleichung in Normalenform

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!