Lösung Abitur Bayern 2022 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (4 BE)

Gegeben sind die Punkte

P (4 | 5 | - 19)

Q (5 | 9 | - 18)

und

R (3 | 7 | - 17)

, die in der Ebene

E

liegen, sowie die Gerade

g : \vec{X} = (\begin{matrix} - 12 \\ 11 \\ 0 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

λ \in ℝ

Bestimmen Sie die Länge der Strecke

[PQ]

. Zeigen Sie, dass das Dreieck

PQR

bei

R

rechtwinklig ist, und begründen Sie damit, dass die Strecke

[PQ]

Durchmesser des Umkreises des Dreiecks

PQR

ist.

(zur Kontrolle:

\bar{PQ} = 3 \sqrt{2}

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Länge eines Vektors

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (\begin{matrix} 5 \\ 9 \\ - 18 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ - 19 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{PQ} | = | (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) | = \sqrt{1^{2} + 4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \cdot 2} = 3 \sqrt{2}

Lagebeziehung von Vektoren

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\vec{RP} = \vec{P} - \vec{R} = (\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ - 19 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ - 17 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix})

\vec{RQ} = \vec{Q} - \vec{R} = (\begin{matrix} 5 \\ 9 \\ - 18 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 7 \\ - 17 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren.

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}

\vec{RP} \circ \vec{RQ} = (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 1 \end{matrix}) = 2 - 4 + 2 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

\vec{R P} ⊥ \vec{R Q}

Thaleskreis

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R

liegt auf dem Thaleskreis über der Strecke

[PQ]

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A a

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Teilaufgabe Teil B a

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Teilaufgabe Teil B c

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Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

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Themen dieser Aufgabe:

Länge eines Vektors

Lagebeziehung von Vektoren

Thaleskreis

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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