Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1d (5 BE)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von

G_{f}

und der Strecke

[A B]

eingeschlossen wird.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1d

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Bestimmtes Integral

Die Fläche, die die Strecke

[A B]

mit der x-Achse zwischen

3

und

8

einschließt, entspricht dem Flächeninhalt eines Trapezes mit Seitenlängen 3,6 und 0,8 und Höhe 5.

A_{Trapez} = \frac{1}{2} \cdot (3, 6 + 0, 8) \cdot 5

Die Fläche die

G_{f}

mit der x-Achse zwischen

3

und

8

einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

\int_{3}^{8} \frac{6 x}{x^{2} - 4} dx

A = \frac{1}{2} \cdot (3, 6 + 0, 8) \cdot 5 - \int_{3}^{8} \frac{6 x}{x^{2} - 4} dx

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Ausklammern

Rechenregeln für Integrale

Allgemein gilt folgende Rechenregel für Integrale:

\int_{a}^{b} c \cdot h (x) d x

=

c \cdot \int_{a}^{b} h (x) d x

Hier wird der Faktor

3

aus dem Integral ausgeklammert, damit im Integral eine Funktion der Form

\frac{g^{'} (x)}{g (x)}

stehen bleibt.

\underset{g (x)}{\underset{︸}{(x^{2} - 4)}}^{'} = \underset{g^{'} (x)}{\underset{︸}{2 x}}

A = 11 - 3 \cdot \int_{3}^{8} \frac{2 x}{x^{2} - 4} dx

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Stammfunktion

Rechenregeln für Integrale

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

\frac{2 x}{x^{2} - 4}

(siehe auch Merkregel Mathematik):

\int \frac{g^{'} (x)}{g (x)} dx = \ln | g (x) | + C

\Rightarrow

\int \frac{2 x}{x^{2} - 4} dx = \ln | x^{2} - 4 |

Hier ist die Nennerfunktion

g (x) = x^{2} - 4

. Abgeleitet ergibt sie die Zählerfunktion

2 x

A = 11 - 3 \cdot {[\ln | x^{2} - 4 |]}_{3}^{8}

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = {[F (x)]}_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = 11 - 3 (\ln 60 - \ln 5) \approx 3, 55

Flächeneinheiten

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Themen dieser Aufgabe:

Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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