Abitur 2021 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Teilaufgabe Teil A 1 (4 BE)

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

f

mit

f (x) = e^{2 x + 1}

. Zeigen Sie, dass

f

umkehrbar ist, und ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von

f

Teilaufgabe Teil A 2a (3 BE)

Gegeben ist die Funktion

g : x \mapsto (x^{2} - 9 x) \cdot \sqrt{2 - x}

mit maximaler Definitionsmenge

D_{g}

. Geben Sie

D_{g}

und alle Nullstellen von

g

an.

Teilaufgabe Teil A 2b (3 BE)

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

h : x \mapsto \ln (\frac{1}{x^{2} + 1})

. Begründen Sie, dass die Wertemenge von

h

das Intervall

] - \infty; 0]

ist.

Betrachtet wird die in

ℝ^{+}

definierte Funktion

f

mit

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}

Teilaufgabe Teil A 3a (2 BE)

Zeigen Sie, dass die in

ℝ^{+}

definierte Funktion

F

mit

F (x) = - \frac{2}{\sqrt{x}}

eine Stammfunktion von

f

ist.

Teilaufgabe Teil A 3b (3 BE)

Der Graph von

f

schließt mit der x-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen

x = 1

und

x = b

mit

b > 1

ein Flächenstück ein. Bestimmen Sie denjenigen Wert von

b

, für den dieses Flächenstück den Inhalt 1 hat.

Gegeben sind die in

ℝ

definierte Funktion

f

mit

f (x) = \frac{1}{8} x^{3}

sowie die Punkte

Q_{a} (a | f (a))

für

a \in ℝ

. Die Abbildung zeigt den Graphen von

f

sowie die Punkte

P (0 | 2)

und

Q_{2}

Teilaufgabe Teil A 4a (2 BE)

Berechnen Sie für

a \neq 0

die Steigung

m_{a}

der Gerade durch die Punkte

P

und

Q_{a}

in Abhängigkeit von

a

.

(zur Kontrolle:

m_{a} = \frac{a^{3} - 16}{8 a}

)

Teilaufgabe Teil A 4b (3 BE)

Die Tangente an den Graphen von

f

im Punkt

Q_{a}

wird mit

t_{a}

bezeichnet. Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von

a \in ℝ

, für den

t_{a}

durch

P

verläuft.

Gegeben ist die in

ℝ ∖ {- 2; 2}

definierte Funktion

f : x \mapsto \frac{6 x}{x^{2} - 4}

. Der Graph von

f

wird mit

G_{f}

bezeichnet und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.

Teilaufgabe Teil B 1a (3 BE)

Geben Sie die Gleichungen aller senkrechten Asymptoten von

G_{f}

an.
Begründen Sie, dass

G_{f}

die x-Achse als waagrechte Asymptote besitzt.

Teilaufgabe Teil B 1b (5 BE)

Bestimmen Sie das jeweilige Monotonieverhalten von

f

in den drei Teilintervallen

] - \infty; - 2 [

] - 2; 2 [

und

] 2; + \infty [

der Definitionsmenge. Berechnen Sie zudem die Steigung der Tangente an

G_{f}

im Punkt

(0 | f (0))

.

(zur Kontrolle:

f^{'} (x) = - \frac{6 \cdot (x^{2} + 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}

)

Die Punkte

A (3 | 3, 6)

und

B (8 | 0, 8)

liegen auf

G_{f}

; zwischen diesen beiden Punkten verläuft

G_{f}

unterhalb der Strecke

[AB]

Teilaufgabe Teil B 1c (4 BE)

Skizzieren Sie

G_{f}

im Bereich

- 10 \leq x \leq 10

unter Verwendung der bisherigen Informationen in einem Koordinatensystem.

Teilaufgabe Teil B 1d (5 BE)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von

G_{f}

und der Strecke

[A B]

eingeschlossen wird.

Betrachtet wird die Schar der Funktionen

f_{a, b, c} : x \mapsto \frac{a x + b}{x^{2} + c}

mit

a, b, c \in ℝ

und maximaler Definitionsmenge

D_{a, b, c}

Teilaufgabe Teil B 2a (1 BE)

Die Funktion

f

aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar. Geben Sie die zugehörigen Werte von

a

b

und

c

an.

Teilaufgabe Teil B 2b (2 BE)

Begründen Sie: Wenn

a = 0

und

b \neq 0

gilt, dann ist der Graph von

f_{a, b, c}

symmetrisch bezüglich der y-Achse und schneidet die x-Achse nicht.

Teilaufgabe Teil B 2c (3 BE)

Geben Sie für

a

b

und

c

alle Werte an, sodass sowohl

D_{a, b, c} = ℝ

gilt als auch, dass der Graph von

f_{a, b, c}

symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, aber nicht identisch mit der x-Achse ist.

Teilaufgabe Teil B 2d (4 BE)

Für die erste Ableitung von

f_{a, b, c}

gilt:

f_{a, b, c}^{'} (x) = - \frac{a x^{2} + 2 b x - a c}{{(x^{2} + c)}^{2}}

.

Zeigen Sie: Wenn

a \neq 0

und

c > 0

gilt, dann besitzt der Graph von

f_{a, b, c}

genau zwei Extrempunkte.

Betrachtet wird die in

ℝ

definierte Funktion

p : x \mapsto \frac{40}{(x - 12)^{2} + 4}

; die Abbildung zeigt den Graphen

G_{p}

von

p

Teilaufgabe Teil B 3a (4 BE)

Beschreiben Sie, wie

G_{p}

aus dem Graphen der in

ℝ

definierten Funktion

h : x \mapsto \frac{5}{x^{2} + 4}

schrittweise hervorgeht, und begründen Sie damit, dass

G_{p}

bezüglich der Gerade mit der Gleichung

x = 12

symmetrisch ist.

Eine auf einem Hausdach installierte Photovoltaikanlage wandelt Lichtenergie in elektrische Energie um. Für

4 \leq x \leq 20

beschreibt die Funktion

p

modellhaft die zeitliche Entwicklung der Leistung der Anlage an einem bestimmten Tag. Dabei ist

x

die seit Mitternacht vergangene Zeit in Stunden und

p (x)

die Leistung in kW (Kilowatt).

Teilaufgabe Teil B 3b (4 BE)

Bestimmen Sie rechnerisch die Uhrzeit am Nachmittag auf Minuten genau, ab der die Leistung der Anlage weniger als

40 %

ihres Tageshöchstwerts von 10 kW beträgt.

Teilaufgabe Teil B 3c (2 BE)

Die Funktion

p

besitzt im Intervall

[4; 12]

eine Wendestelle. Geben Sie die Bedeutung dieser Wendestelle im Sachzusammenhang an.

Teilaufgabe Teil B 3d (3 BE)

Die von der Anlage produzierte elektrische Energie wird vollständig in das Stromnetz eingespeist. Der Hauseigentümer erhält für die eingespeiste elektrische Energie eine Vergütung von 10 Cent pro Kilowattstunde (kWh).

Die in

[4; 20]

definierte Funktion

x \mapsto E (x)

gibt die elektrische Energie in kWh an, die die Anlage am betrachteten Tag von 4:00 Uhr bis

x

Stunden nach Mitternacht in das Stromnetz einspeist.

Es gilt

E^{'} (x) = p (x)

für

x \in [4; 20]

.

Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert für die Vergütung, die der Hauseigentümer für die von 10:00 Uhr bis 14:00 Uhr in das Stromnetz eingespeiste elektrische Energie erhält.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1

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Teilaufgabe Teil A 3a

Teilaufgabe Teil A 3b

Teilaufgabe Teil A 4a

Teilaufgabe Teil A 4b

Teilaufgabe Teil B 1a

Teilaufgabe Teil B 1b

Teilaufgabe Teil B 1c

Teilaufgabe Teil B 1d

Teilaufgabe Teil B 2a

Teilaufgabe Teil B 2b

Teilaufgabe Teil B 2c

Teilaufgabe Teil B 2d

Teilaufgabe Teil B 3a

Teilaufgabe Teil B 3b

Teilaufgabe Teil B 3c

Teilaufgabe Teil B 3d

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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