Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B g (4 BE)

Es gibt genau eine Kugel, auf der alle acht Eckpunkte des Körpers liegen.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunkts dieser Kugel.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B g

Lage eines Punktes

E (2 | 0 | 4)

A (5 | 5 | 0)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Aus Symmetriegründen liegt der Mittelpunkt

M

auf der

x_{3}

-Achse.

M (0 | 0 | x_{3})

\vec{ME} = \vec{E} - \vec{M} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 - x_{3} \end{matrix})

\vec{MA} = \vec{A} - \vec{M} = (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ - x_{3} \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{ME} | = | (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 - x_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + {(4 - x_{3})}^{2}}

| \vec{MA} | = | (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ - x_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{5^{2} + 5^{2} + {(- x_{3})}^{2}}

Schritt einblenden / ausblenden

| \vec{ME} | = | \vec{MA} |

4 + {(4 - x_{3})}^{2} = 50 + x_{3}^{2}

4 + 16 - 8 x_{3} + x_{3}^{2} = 50 + x_{3}^{2}

- 8 x_{3} = 30

x_{3} = - 3, 75

\Rightarrow

M (0 | 0 | - 3, 75)

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Teilaufgabe Teil B g

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Lage eines Punktes

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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