Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 1 (5 BE)

Mit einem Lasermessgerät soll ein Verkehrsschild angepeilt werden. Diese Situation wird modellhaft in einem Koordinatensystem dargestellt. Der Ausgangspunkt des Laserstrahls wird durch den Punkt

P (104 | - 42 | 10)

beschrieben, seine Richtung durch den Vektor

(\begin{matrix} - 13 \\ 5 \\ 1 \end{matrix})

. Das Verkehrsschild wird durch eine Kreisscheibe repräsentiert, die in der

x_{2} x_{3}

-Ebene liegt und den Mittelpunkt

M (0 | 0 | 20)

sowie den Radius 3 hat.
Untersuchen Sie, ob der Laserstrahl auf das Verkehrsschild trifft.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 1

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gerade

g

durch

P (104 | - 42 | 10)

mit Richtungsvektor

\vec{v} = (\begin{matrix} - 13 \\ 5 \\ 1 \end{matrix})

aufstellen:

Schritt einblenden / ausblenden

Geradengleichung

Eine Gerade

g

ist durch einen Ortsvektor

\vec{P}

und einen Richtungsvektor

\vec{v}

eindeutig bestimmt:

g : \vec{X} = \vec{P} + μ \cdot \vec{v}

μ \in ℝ

Wenn

P

als Aufpunkt genommen wird, dann ist

\vec{P}

der Ortsvektor (des Aufpunkts) der Geraden

g

g : \vec{X} = (\begin{matrix} 104 \\ - 42 \\ 10 \end{matrix}) + λ \cdot (\begin{matrix} - 13 \\ 5 \\ 1 \end{matrix})

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

x_{2} x_{3}

-Ebene mit Gerade

g

schneiden und Schnittpunkt ermitteln:

Normalenvektor der Ebene:

\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\Rightarrow

x_{1} = 0

(Gleichung der

x_{2} x_{3}

-Ebene)

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{Q} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

g

in die

x_{2} x_{3}

-Ebene eingesetzt und nach

λ

aufgelöst.

104 - 13 λ = 0

λ = 8

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

λ = 8

wird in die Geradengleichung der Geraden

g

eingesetzt.

\vec{F} = (\begin{matrix} 104 \\ - 42 \\ 10 \end{matrix}) + 8 \cdot (\begin{matrix} - 13 \\ 5 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 18 \end{matrix})

\Rightarrow

F (0 | - 2 | 18)

Schnittpunkt

Länge eines Vektors

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\vec{M F} = \vec{F} - \vec{M} = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 18 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{M F} | = | (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}) | = \sqrt{0 + (- 2)^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{8} < 3 = r

Der Punkt

F

liegt auf der Kreisscheibe.

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Schnitt Ebene und Gerade

Länge eines Vektors

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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