Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (2 BE)

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper wird begrenzt von der quadratischen Grundfläche

ABCD

mit

A (5 | 5 | 0)

B (- 5 | 5 | 0)

C (- 5 | - 5 | 0)

und

D (5 | - 5 | 0)

, acht dreieckigen Seitenflächen und einem weiteren Quadrat

EFGH

mit

E (2 | 0 | 4)

F (0 | 2 | 4)

G (- 2 | 0 | 4)

und

H (0 | - 2 | 4)

.
Der Mittelpunkt

S

des Quadrats

A B C D

ist der Ursprung des Koordinatensystems und der gesamte Körper ist symmetrisch sowohl bezüglich der

x_{1} x_{3}

-Ebene als auch bezüglich der

x_{2} x_{3}

-Ebene.

Zeigen Sie, dass das Dreieck

ABF

bei

F

rechtwinklig ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Lagebeziehung von Vektoren

\vec{FB} = \vec{B} - \vec{F} = (\begin{matrix} - 5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})

\vec{FA} = \vec{A} - \vec{F} = (\begin{matrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

\vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

ergibt sich aus der Summe der Produkte der Komponenten der Vektoren.

\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}

\vec{FB} \circ \vec{FA} = (\begin{matrix} - 5 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}) = - 25 + 9 + 16 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

\vec{FB} ⊥ \vec{FA}

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Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Teilaufgabe Teil B g

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Vektoren

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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