Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B b (4 BE)

Das Dreieck

ABF

liegt in der Ebene

W

. Ermitteln Sie eine Gleichung von

W

in Koordinatenform und beschreiben Sie die besondere Lage von

W

im Koordinatensystem.

(zur Kontrolle:

W : 4 x_{2} + 3 x_{3} - 20 = 0

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Ebene aus drei Punkte

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A (5 | 5 | 0)

B (- 5 | 5 | 0)

F (0 | 2 | 4)

Richtungsvektoren der Ebene

W

\vec{FB} = (\begin{matrix} - 5 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})

\vec{FA} = (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix})

F

sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

W

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{W}}

der Ebene

W

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{FB} \times \vec{FA} = (\begin{matrix} - 5 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 5 \\ 3 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ - 40 \\ - 30 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor mit

- \frac{1}{10}

multipliziert.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\Rightarrow

\vec{n_{W}} = - \frac{1}{10} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 40 \\ - 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

F

ist Aufpunkt):

W : \underset{\vec{n_{W}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{F}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{matrix})}}

W : 4 x_{2} + 3 x_{3} = 0 + 8 + 12

W : 4 x_{2} + 3 x_{3} - 20 = 0

Lagebeziehung Gerade und Ebene

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W

ist parallel zur

x_{1}

-Achse.

Schritt einblenden / ausblenden

Senkrechte Vektoren

Wegen

\underset{\vec{n_{W}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 3 \end{matrix})}} \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = 0

steht der Normalenvektor der Ebene

W

senkrecht zur

x_{1}

-Achse, d.h. die Ebene verläuft parallel dazu.

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Lösungen zu:

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

Lagebeziehung Gerade und Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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