Lösung Abitur Bayern 2021 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (4 BE)

Auf der Strecke

[DE]

gibt es einen Punkt

K

, für den

\bar{KE} = \bar{EF}

gilt.

Bestimmen Sie die Koordinaten von

K

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Lage eines Punktes

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E (2 | 0 | 4)

F (0 | 2 | 4)

D (5 | - 5 | 0)

\vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

\vec{ED} = \vec{D} - \vec{E} = (\begin{matrix} 5 \\ - 5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{EF} | = \sqrt{(- 2)^{2} + 2^{2} + 0^{2}} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}

| \vec{ED} | = \sqrt{3^{2} + (- 5)^{2} + (- 4)^{2}} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Lage des Punktes

Um zum Punkt

K

zu gelangen, bewegt man sich vom Punkt

E

aus, entlang der Geraden

ED

. Der normierte Richtungsvektor

{\vec{E D}}^{0}

der Geraden hat Länge 1 und gibt die Richtung an. Dieser Vektor passt dann

\bar{E F}

-mal zwischen

E

und

D

rein.

\vec{K} = \vec{E} + 2 \sqrt{2} \cdot {\vec{E D}}^{0}

Schritt einblenden / ausblenden

Einheitsvektor

Ein Einheitsvektor (normierter Vektor) hat die Länge 1.
Um den Einheitsvektor zu einem gegebenen Vektor zu bestimmen, muss durch den Betrag des Vektors geteilt werden:

{\vec{a}}^{0} = \frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a}

Der Einheitsvektor

{\vec{a}}^{0}

zeigt in dieselbe Richtung wie

\vec{a}

, hat aber die Länge 1.

\vec{K} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ - 5 \\ - 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{16}{5} \\ - 2 \\ \frac{12}{5} \end{matrix})

K (3, 2 | - 2 | 2, 4)

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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