Lösung Abitur Bayern 2020 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B e (4 BE)

Die Punkte

M

T

S

und

F

(vgl. die Aufgaben b, c und d) liegen in einer Ebene

Z

. Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt die Gerade

g

, den Schnitt der Ebene

E

mit der Ebene

Z

sowie den Schnitt der Kugel

K

mit der Ebene

Z

Begründen Sie, dass das Viereck

MTSF

einen Umkreis besitzt.
Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Vierecks.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B e

Lagebeziehung von Vektoren

\bar{M F} ⊥ \bar{F S}

(s. Teilaufgabe Teil B c)

\bar{M T} ⊥ \bar{T S}

(s. Teilaufgabe Teil B d)

\Rightarrow

F

und

T

liegen auf dem Thaleskreis über

[M S]

Länge eines Vektors

F (- 5 | 4 | 2)

S (0, 5 | 6, 5 | 0)

r = \bar{M F} = \bar{M T} = 18

\vec{F S} = \vec{S} - \vec{F} = (\begin{matrix} 0, 5 \\ 6, 5 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 5, 5 \\ 2, 5 \\ - 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{F S} | = | (\begin{matrix} 5, 5 \\ 2, 5 \\ - 2 \end{matrix}) | = \sqrt{5, 5^{2} + 2, 5^{2} + (- 2)^{2}} = \sqrt{\frac{81}{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2} \sqrt{2}

A_{Viereck} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot | \vec{F S} | \cdot r = 18 \cdot \frac{9}{2} \sqrt{2} = 81 \sqrt{2}

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Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung von Vektoren

Länge eines Vektors

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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