Lösung Abitur Bayern 2020 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c (6 BE)

Die Kugel

K

mit dem Mittelpunkt

M (- 13 | 20 | 0)

berührt die Ebene

E

. Bestimmen Sie die Koordinaten des zugehörigen Berührpunkts

F

sowie den Kugelradius

r

.

(zur Kontrolle:

F (- 5 | 4 | 2)

r = 18

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Lagebeziehung Ebene und Kugel

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

E : 4 x_{1} - 8 x_{2} + x_{3} + 50 = 0

Lot

h

auf die Ebene

E

durch

M

h : \vec{X} = (\begin{matrix} - 13 \\ 20 \\ 0 \end{matrix}) + μ \cdot \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 4 \\ - 8 \\ 1 \end{matrix})}}

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Lot

h

mit Ebene

E

schneiden:

h \cap E

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{Q} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

h

E

eingesetzt und nach

μ

aufgelöst.

\begin{matrix} h \cap E : & 4 \cdot (- 13 + 4 μ) - 8 \cdot (20 - 8 μ) + μ + 50 & = & 0 \\ - 52 + 16 u - 160 + 64 μ + μ + 50 & = & 0 \\ 81 μ & = & 162 \\ μ & = & 2 \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

μ = 2

wird in die Geradengleichung des Lotes

h

eingesetzt.

\vec{F} = (\begin{matrix} - 13 \\ 20 \\ 0 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 8 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})

\Rightarrow

F (- 5 | 4 | 2)

Länge eines Vektors

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

\vec{M F} = \vec{F} - \vec{M} = (\begin{matrix} - 5 \\ 4 \\ 2 \end{matrix}) - (\begin{matrix} - 13 \\ 20 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ - 16 \\ 2 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

r = | \vec{M F} | = | (\begin{matrix} 8 \\ - 16 \\ 2 \end{matrix}) | = \sqrt{8^{2} + (- 16)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{324} = 18

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1a

Teilaufgabe Teil A 1b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Ebene und Kugel

Schnitt Ebene und Gerade

Länge eines Vektors

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!