Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B e (3 BE)

Ein zweiter Bohrkanal wird benötigt, durch den das entnommene Wasser abgekühlt zurück in die wasserführende Gesteinsschicht geleitet wird. Der Bohrkanal soll geradlinig und senkrecht zur Erdoberfläche verlaufen. Für den Beginn des Bohrkanals an der Erdoberfläche kommen nur Bohrstellen in Betracht, die im Modell durch einen Punkt

B (t | - t | 0)

mit

t \in ℝ

beschrieben werden können.

Zeigen Sie rechnerisch, dass der zweite Bohrkanal die wasserführende Gesteinsschicht im Modell im Punkt

T (t | - t | - 4, 3)

erreicht, und erläutern Sie, wie die Länge des zweiten Bohrkanals bis zur wasserführenden Gesteinsschicht von der Lage der zugehörigen Bohrstelle beeinflusst wird.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B e

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gerade

h

durch

B

senkrecht zur

x_{1} x_{2}

-Ebene:

h : \vec{X} = \underset{\vec{B}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} t \\ - t \\ 0 \end{matrix})}} + μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

Schnitt Ebene und Gerade

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E : 4 x_{1} + 4 x_{2} - 10 x_{3} - 43 = 0

Gerade

h

mit Ebene

E

schneiden:

h \cap E

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{Q} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

h

E

eingesetzt und nach

μ

aufgelöst.

\begin{matrix} h \cap E : & 4 \cdot t + 4 \cdot (- t) - 10 \cdot μ - 43 & = & 0 \\ 4 t - 4 t - 10 μ & = & 43 \\ - 10 μ & = & 43 \\ μ & = & - 4, 3 \end{matrix}

\vec{T} = (\begin{matrix} t \\ - t \\ 0 \end{matrix}) - 4, 3 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} t \\ - t \\ - 4, 3 \end{matrix})

Die Lage der Bohrstelle hat keinen Einfluss auf die Länge, da

\bar{B T} = 4, 3

unabhängig von

t

ist.

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Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

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Themen dieser Aufgabe:

Geradengleichung aufstellen

Schnitt Ebene und Gerade

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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