Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B b (3 BE)

Beim Übergang zwischen den beiden Abschnitten des Bohrkanals muss die Bohrrichtung um den Winkel geändert werden, der im Modell durch den Schnittwinkel der beiden Geraden

A P

und

P Q

beschrieben wird. Bestimmen Sie die Größe dieses Winkels.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B b

Winkel zwischen zwei Vektoren

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\vec{A P} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

\vec{P Q} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2, 5 \end{matrix})

(s. Teilaufgabe Teil B a)

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Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos α = \frac{\vec{A P} \circ \vec{P Q}}{| \vec{A P} | \cdot | \vec{P Q} |} = \frac{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2, 5 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2, 5 \end{matrix}) |}

\cos α = \frac{0 + 0 + 2, 5}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2, 5^{2}}} = \frac{2, 5}{\sqrt{8, 25}}

α = \cos^{- 1} (\frac{2, 5}{\sqrt{8, 25}}) \approx 29, 5^{\circ}

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Winkel zwischen zwei Vektoren

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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