Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (2 BE)

Eine Geothermieanlage fördert durch einen Bohrkanal heißes Wasser aus einer wasserführenden Gesteinsschicht an die Erdoberfläche. In einem Modell entspricht die

x_{1} x_{2}

-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems der horizontal verlaufenden Erdoberfläche. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Bohrkanal besteht aus zwei Abschnitten, die im Modell vereinfacht durch die Strecken

[A P]

und

[P Q]

mit den Punkten

A (0 | 0 | 0)

P (0 | 0 | - 1)

und

Q (1 | 1 | - 3, 5)

beschrieben werden (vgl. Abbildung).

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Gesamtlänge des Bohrkanals auf Meter gerundet.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Länge eines Vektors

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\vec{A P} = \vec{P} - \vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

\vec{P Q} = \vec{Q} - \vec{P} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 3, 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2, 5 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{A P} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{1} = 1

| \vec{P Q} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + (- 2, 5)^{2}} = \sqrt{8, 25}

Schritt einblenden / ausblenden

(1 + \sqrt{8, 25}) \cdot 1000 m \approx 3872 m

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Länge eines Vektors

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Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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