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Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (2 BE)

Eine Geothermieanlage fördert durch einen Bohrkanal heißes Wasser aus einer wasserführenden Gesteinsschicht an die Erdoberfläche. In einem Modell entspricht die $x_{1} x_{2}$ -Ebene eines kartesischen Koordinatensystems der horizontal verlaufenden Erdoberfläche. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer in der Realität. Der Bohrkanal besteht aus zwei Abschnitten, die im Modell vereinfacht durch die Strecken $[A P]$ und $[P Q]$ mit den Punkten $A (0 | 0 | 0)$ , $P (0 | 0 | - 1)$ und $Q (1 | 1 | - 3, 5)$ beschrieben werden (vgl. Abbildung).

Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Gesamtlänge des Bohrkanals auf Meter gerundet.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

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Länge eines Vektors

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$\vec{A P} = \vec{P} - \vec{A} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})$

$\vec{P Q} = \vec{Q} - \vec{P} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 3, 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2, 5 \end{matrix})$

Schritt einblenden / ausblenden

$| \vec{A P} | = \sqrt{0^{2} + 0^{2} + (- 1)^{2}} = \sqrt{1} = 1$

$| \vec{P Q} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + (- 2, 5)^{2}} = \sqrt{8, 25}$

Schritt einblenden / ausblenden

$(1 + \sqrt{8, 25}) \cdot 1000 m \approx 3872 m$

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