Lösung Abitur Bayern 2019 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (6 BE)

Der Bohrkanal wird geradlinig verlängert und verlässt die wasserführende Gesteinsschicht in einer Tiefe von 3600 m unter der Erdoberfläche. Die Austrittsstelle wird im Modell als Punkt

R

auf der Geraden

P Q

beschrieben. Bestimmen Sie die Koordinaten von

R

und ermitteln Sie die Dicke der wasserführenden Gesteinsschicht auf Meter gerundet.

(zur Kontrolle:

x_{1} -

und

x_{2}

-Koordinate von

R : 1, 04

)

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Geradengleichung aufstellen

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Gerade

P Q

\vec{X} = \underset{\vec{P}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})}} + λ \cdot \underset{\vec{P Q}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 2, 5 \end{matrix})}}

Allgemeiner Punkt auf der Geraden

P Q

(λ | λ | - 1 - 2, 5 λ)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Der Punkt

R

liegt auf der Geraden

P Q

in einer Tiefe von 3600 m, d.h. seine

x_{3}

-Koordinate hat den Wert

- 3600 : 1000 = - 3, 6

R (λ | λ | - 3, 6)

- 1 - 2, 5 λ = - 3, 6

\Rightarrow

λ = \frac{- 2, 6}{- 2, 5} = 1, 04

R (1, 04 | 1, 04 | - 3, 6)

Länge einer Strecke

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\vec{Q R} = \vec{R} - \vec{Q} = (\begin{matrix} 1, 04 \\ 1, 04 \\ - 3, 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 3, 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0, 04 \\ 0, 04 \\ - 0, 1 \end{matrix})

| \vec{Q R} | = \sqrt{0, 04^{2} + 0, 04^{2} + (- 0, 1)^{2}} = \sqrt{0, 0132}

d = \sqrt{0, 0132} \cdot 1000 \approx 115 m

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Länge einer Strecke

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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