Lösung Abitur Bayern 2018 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1f (5 BE)

Im IV. Quadranten schließt

G_{f}

zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen

x = 1

und

x = 2

ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa

1, 623

beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion

h

als Näherung für die Funktion

f

verwendet wird.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1f

Flächenberechnung

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Bestimmtes Integral

Die Fläche die der Graph

G_{h}

im IV. Quadranten zusammen mit der x-Achse und die Geraden mit den Gleichungen

x = 1

und

x = 2

einschließt, ist gegeben durch das bestimmte Integral:

A = | \int_{1}^{2} h (x) dx |

(Da die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, hat das bestimmte Integral einen negativen Wert und wird deswegen bei der Flächenberechnung im Betrag genommen.)

A = | \int_{1}^{2} h (x) dx |

A = | \int_{1}^{2} (1, 5 x - 4, 5 + \frac{1}{x}) dx |

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Rechenregeln für Integrale

Stammfunktion

Benötigte Regel zur Bildung der Stammfunktion von

1, 5 x - 4, 5 + \frac{1}{x}

(siehe auch Merkhilfe Mathematik):

\int x^{r} dx = \frac{x^{r + 1}}{r + 1} + C

(r \neq - 1)

\int \frac{g^{'} (x)}{g (x)} dx = \ln | g (x) | + C

\Rightarrow

\int_{1}^{2} (1, 5 x - 4, 5 + \frac{1}{x}) dx = 1, 5 \frac{x^{1 + 1}}{1 + 1} - 4, 5 \frac{x^{0 + 1}}{0 + 1} + \ln | x | = 3 x^{2} - 4, 5 x + \ln | x |

A = | {[1, 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{2} - 4, 5 x + \ln | x |]}_{1}^{2} |

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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Ist

F

eine Stammfunktion von

f

, dann ist

F^{'} = f

und es gilt:

\int_{a}^{b} f (x) dx = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)

A = | (3 - 9 + \ln 2) - (0, 75 - 4, 5 + 0) |

A = | \ln 2 - 2, 25 |

FE

prozentuale Abweichung:

\frac{1, 623 - | \ln 2 - 2, 25 |}{1, 623} \approx 4, 1 %

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Flächenberechnung

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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