Lösung Abitur Bayern 2018 Mathematik Infinitesimalrechnung I

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B 1a (5 BE)

Gegeben ist die in

ℝ^{+}

definierte Funktion

f : x \mapsto 2 \cdot ((\ln x)^{2} - 1)

. Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

Zeigen Sie, dass

x = e^{- 1}

und

x = e

die einzigen Nullstellen von

f

sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts

T

von

G_{f}

.
(zur Kontrolle: $f^{'} (x) = \frac{4}{x} \cdot \ln x$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil B 1a

Nullstellen einer Funktion

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f (x) = 2 \cdot ((\ln x)^{2} - 1)

Schritt einblenden / ausblenden

Nullstellen

Der Ansatz, um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion

f

mit der

x

-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

f (x) = 0

Die Gleichung muss anschließend nach

x

aufgelöst werden.

2 \cdot ((\ln x)^{2} - 1) = 0

(\ln x)^{2} - 1 = 0

(\ln x)^{2} = 1

| \sqrt{}

\ln x = \pm 1

| e^{x}

x_{1, 2} = e^{\pm 1}

\Rightarrow

x_{1} = e^{- 1}

;

x_{2} = e

Lage von Extrempunkten ermitteln

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Erste Ableitung bilden:

f^{'} (x)

Schritt einblenden / ausblenden

Kettenregel der Differenzialrechnung

f (x) = u (v (x))

\Rightarrow

f^{'} (x) = u^{'} (v (x)) \cdot v^{'} (x)

Hier ist

u (x) = (\dots)^{2}

und

v (x) = \ln x

.
Dann ist

u^{'} (x) = 2 \cdot (\dots)

und

v^{'} (x) = \frac{1}{x}

f^{'} (x) = 2 \cdot (2 \ln x \cdot \frac{1}{x}) = \frac{4}{x} \cdot \ln x

Erste Ableitung gleich Null setzen:

f^{'} (x) = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Notwendige Bedingung

Folgende notwendige Bedingung muss für einen Extrempunkt an der Stelle

x^{E}

erfüllt sein:

f^{'} (x^{E}) = 0

daher immer der Ansatz:

f^{'} (x) = 0

\underset{\neq 0}{\underset{︸}{\frac{4}{x}}} \cdot \ln x = 0

\ln x = 0

| e^{x}

x^{T} = e^{0} = 1

y^{T} = f (1) = 2 \cdot (\underset{0}{\underset{︸}{(\ln 1)^{2}}} - 1) = - 2

\Rightarrow

T (1 | - 2)

Tiefpunkt

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Nullstellen einer Funktion

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