Abitur 2018 Mathematik Infinitesimalrechnung I

Teilaufgabe Teil A 1 (4 BE)

Geben Sie für die Funktionen

f_{1}

und

f_{2}

jeweils die maximale Definitionsmenge und die Nullstelle an.

f_{1} : x \mapsto \frac{2 x + 3}{x^{2} - 4}

f_{2} : x \mapsto \ln (x + 2)

Teilaufgabe Teil A 2 (3 BE)

Geben Sie den Term einer in

ℝ

definierten Funktion an, deren Graph im Punkt

(2 | 1)

eine waagrechte Tangente, aber keinen Extrempunkt hat.

Teilaufgabe Teil A 3 (5 BE)

Gegeben ist die in

ℝ

definierte Funktion

f

mit

f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 25

.
Weisen Sie nach, dass

f

folgende Eigenschaften besitzt:
(1) Der Graph von

f

besitzt an der Stelle

x = 0

die Steigung

- 15

.
(2) Der Graph von

f

besitzt im Punkt

A (5 | f (5))

die

x

-Achse als Tangente.
(3) Die Tangente

t

an den Graphen der Funktion

f

im Punkt

B (- 1 | f (- 1))

kann durch die Gleichung

y = - 36 x - 36

beschrieben werden.

Teilaufgabe Teil A 4 (3 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen

G_{f}

einer in

ℝ

definierten Funktion

f

mit dem Wendepunkt

W (1 | 4)

.

Ermitteln Sie mithilfe der Abbildung näherungsweise den Wert der Ableitung von

f

an der Stelle

x = 1

.

Skizzieren Sie den Graphen der Ableitungsfunktion

f^{'}

von

f

in die Abbildung; berücksichtigen Sie dabei insbesondere die Lage der Nullstellen von

f^{'}

sowie den für

f^{'} (1)

ermittelten Näherungswert.

Für jeden Wert von

a

mit

a \in ℝ^{+}

ist eine Funktion

f_{a}

durch

f_{a} (x) = \frac{1}{a} \cdot x^{3} - x

mit

x \in ℝ

gegeben.

Teilaufgabe Teil A 5a (2 BE)

Eine der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von

f_{a}

dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

Teilaufgabe Teil A 5b (3 BE)

Für jeden Wert von

a

besitzt der Graph von

f_{a}

genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von

a

, für den der Graph der Funktion

f_{a}

an der Stelle

x = 3

einen Extrempunkt hat.

Gegeben ist die in

ℝ^{+}

definierte Funktion

f : x \mapsto 2 \cdot ((\ln x)^{2} - 1)

. Abbildung 1 zeigt den Graphen

G_{f}

von

f

Teilaufgabe Teil B 1a (5 BE)

Zeigen Sie, dass

x = e^{- 1}

und

x = e

die einzigen Nullstellen von

f

sind, und berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunkts

T

von

G_{f}

.
(zur Kontrolle: $f^{'} (x) = \frac{4}{x} \cdot \ln x$ )

Teilaufgabe Teil B 1b (6 BE)

Zeigen Sie, dass

G_{f}

genau einen Wendepunkt

W

besitzt, und bestimmen Sie dessen Koordinaten sowie die Gleichung der Tangente an

G_{f}

im Punkt

W

.
(zur Kontrolle: x-Koordinate von $W$ : $e$ )

Teilaufgabe Teil B 1c (6 BE)

Begründen Sie, dass

lim_{x \to 0} f^{'} (x) = - \infty

und

lim_{x \to + \infty} f^{'} (x) = 0

gilt. Geben Sie

f^{'} (0, 5)

und

f^{'} (10)

auf eine Dezimale genau an und zeichnen Sie den Graphen der Ableitungsfunktion

f^{'}

unter Berücksichtigung aller bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1 ein.

Teilaufgabe Teil B 1d (3 BE)

Begründen Sie unter Zuhilfenahme von Abbildung 1, dass es zwei Werte

c \in] 0; 6]

gibt, für die gilt:

\int_{e^{- 1}}^{c} f (x) dx = 0

Die gebrochen-rationale Funktion

h : x \mapsto 1, 5 x - 4, 5 + \frac{1}{x}

mit

x \in ℝ ∖ {0}

stellt in einem gewissen Bereich eine gute Näherung für

f

dar.

Teilaufgabe Teil B 1e (2 BE)

Geben Sie die Gleichungen der beiden Asymptoten des Graphen von

h

an.

Teilaufgabe Teil B 1f (5 BE)

Im IV. Quadranten schließt

G_{f}

zusammen mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen

x = 1

und

x = 2

ein Flächenstück ein, dessen Inhalt etwa

1, 623

beträgt. Ermitteln Sie die prozentuale Abweichung von diesem Wert, wenn bei der Berechnung des Flächeninhalts die Funktion

h

als Näherung für die Funktion

f

verwendet wird.

Durch Spiegelung von

G_{f}

an der Geraden

x = 4

entsteht der Graph einer in

] - \infty; 8 [

definierten Funktion

g

. Dieser Graph wird mit

G_{g}

bezeichnet.

Teilaufgabe Teil B 2a (2 BE)

Zeichnen Sie

G_{g}

in Abbildung 1 ein.

Teilaufgabe Teil B 2b (3 BE)

Die beschriebene Spiegelung von

G_{f}

an der Geraden

x = 4

kann durch eine Spiegelung von

G_{f}

an der y-Achse mit einer anschließenden Verschiebung ersetzt werden. Beschreiben Sie diese Verschiebung und geben Sie

a, b \in ℝ

, sodass

g (x) = f (a x + b)

für

x \in] - \infty; 8 [

gilt.

Im Folgenden wird die "w-förmige" Kurve

k

betrachtet, die sich aus dem auf

0, 2 \leq x \leq 4

beschränkten Teil von

G_{f}

und dem auf

4 < x \leq 7, 8

beschränkten Teil von

G_{g}

zusammensetzt. Die Kurve

k

wird um 12 Einheiten in negative z-Richtung verschoben. Die dabei überstrichene Fläche dient als Modell für ein 12 Meter langes Aquarium, das durch zwei ebene Wände an Vorderund Rückseite zu einem Becken ergänzt wird (vgl. Abbildung 2). Dabei entspricht eine Längeneinheit im Koordinatensystem einem Meter in der Realität.

Teilaufgabe Teil B 2c (3 BE)

Die Aquariumwände bilden an der Unterseite einen Tunnel, durch den die Besucher hindurchgehen können. Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die linke und die rechte Tunnelwand miteinander einschließen.

Das Aquarium wird vollständig mit Wasser gefüllt.

Teilaufgabe Teil B 2d (2 BE)

Berechnen Sie die größtmögliche Wassertiefe des Aquariums.

Teilaufgabe Teil B 2e (3 BE)

Das Volumen des Wassers im Aquarium lässt sich analog zum Rauminhalt eines Prismas mit Grundfläche

G

und Höhe

h

berechnen.
Erläutern Sie, dass der Term

24 \cdot \int_{0, 2}^{4} (f (0, 2) - f (x)) dx

das Wasservolumen im vollgefüllten Aquarium in Kubikmetern beschreibt.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1

Teilaufgabe Teil A 2

Teilaufgabe Teil A 3

Teilaufgabe Teil A 4

Teilaufgabe Teil A 5a

Teilaufgabe Teil A 5b

Teilaufgabe Teil B 1a

Teilaufgabe Teil B 1b

Teilaufgabe Teil B 1c

Teilaufgabe Teil B 1d

Teilaufgabe Teil B 1e

Teilaufgabe Teil B 1f

Teilaufgabe Teil B 2a

Teilaufgabe Teil B 2b

Teilaufgabe Teil B 2c

Teilaufgabe Teil B 2d

Teilaufgabe Teil B 2e

Lösung als Video:

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!