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Lösung Abitur Bayern 2018 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f  (5 BE)

Bei starkem Regen verformt sich das Sonnensegel und hängt durch. Es bildet sich eine sogenannte Wassertasche aus Regenwasser, das nicht abfließen kann. Die Oberseite der Wassertasche verläuft horizontal und ist näherungsweise kreisförmig mit einem Durchmesser von ${\displaystyle 50\text{ cm}}$. An ihrer tiefsten Stelle ist die Wassertasche ${\displaystyle 5\text{ cm}}$ tief. Vereinfachend wird die Wassertasche als Kugelsegment betrachtet (vgl. Abbildung 2).



Das Volumen ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ eines Kugelsegments kann mit der Formel ${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\cdot (3\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$ berechnet werden, wobei ${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ den Radius der Kugel und ${\displaystyle \mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ die Höhe des Kugelsegments bezeichnen. Ermitteln Sie, wie viele Liter Wasser sich in der Wassertasche befinden.

 

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

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2-dimensionale Geometrie

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Radius ${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ der Kugel bestimmen:

${\displaystyle {25}^2+(\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-5{)}^2={\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

${\displaystyle 625+{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-10\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+25={\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}$

${\displaystyle 650-10\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$

${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=65\text{ cm}}$


Volumen des Kugelsegments bestimmen:

${\displaystyle \mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot 5^2\cdot (3\cdot 65-5)\approx 4974,2{\text{ cm}}^3}$

Es befinden sich ca. 5 Liter Wasser in der Wassertasche.

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