Lösung Abitur Bayern 2018 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (4 BE)

Auf einem Spielplatz wird ein dreieckiges Sonnensegel errichtet, um einen Sandkasten zu beschatten. Hierzu werden an drei Ecken des Sandkastens Metallstangen im Boden befestigt, an deren Enden das Sonnensegel fixiert wird.
In einem kartesischen Koordinatensystem stellt die

x_{1} x_{2}

-Ebene den horizontalen Boden dar. Der Sandkasten wird durch das Rechteck mit den Eckpunkten

K_{1} (0 | 4 | 0)

K_{2} (0 | 0 | 0)

K_{3} (3 | 0 | 0)

und

K_{4} (3 | 4 | 0)

beschrieben. Das Sonnensegel wird durch das ebene Dreieck mit den Eckpunkten

S_{1} (0 | 6 | 2, 5)

S_{2} (0 | 0 | 3)

und

S_{3} (6 | 0 | 2, 5)

dargestellt (vgl. Abbildung 1). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

Die drei Punkte

S_{1}

S_{2}

und

S_{3}

legen die Ebene

E

fest.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

E

in Normalenform.

(zur Kontrolle: $E : x_{1} + x_{2} + 12 x_{3} - 36 = 0$ )

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Richtungsvektoren der Ebene

E

\vec{S_{2} S_{3}} = \vec{S_{3}} - \vec{S_{2}} = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ 2, 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ - 0, 5 \end{matrix})

\vec{S_{2} S_{1}} = \vec{S_{1}} - \vec{S_{2}} = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ 2, 5 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ - 0, 5 \end{matrix})

S_{2} (0 | 0 | 3)

sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

E

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

\vec{S_{2} S_{3}} \times \vec{S_{2} S_{1}} = (\begin{matrix} 6 \\ 0 \\ - 0, 5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0 \\ 6 \\ - 0, 5 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 36 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor mit

\frac{1}{3}

multipliziert.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = \frac{1}{3} \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 36 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

S_{2}

ist Aufpunkt):

E : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 12 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{S_{2}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})}}

E : x_{1} + x_{2} + 12 x_{3} = 0 + 0 + 36

E : x_{1} + x_{2} + 12 x_{3} - 36 = 0

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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