Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (7 BE)

Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Balls wird im Modell durch den Punkt

H (50 | 70 | 15)

beschrieben.

Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte

W_{1}

W_{2}

und

K_{2}

festgelegten Ebene

E

in Normalenform und weisen Sie nach, dass

H

unterhalb von

E

liegt.

[Mögliches Teilergebnis:

E : x_{2} + 5 x_{3} - 150 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

W_{1} (0 | 0 | 30)

W_{2} (90 | 0 | 30)

K_{2} (51 | 100 | 10)

Richtungsvektoren der Ebene

E

bestimmen:

\vec{W_{1} W_{2}} = \vec{W_{2}} - \vec{W_{1}} = (\begin{matrix} 90 \\ 0 \\ 30 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 90 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\vec{W_{1} K_{2}} = \vec{K_{2}} - \vec{W_{1}} = (\begin{matrix} 51 \\ 100 \\ 10 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 51 \\ 100 \\ - 20 \end{matrix})

W_{1}

sei der Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

E

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannten Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} 90 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 51 \\ 100 \\ - 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \cdot (- 20) - 0 \cdot 100 \\ 0 \cdot 51 - 90 \cdot (- 20) \\ 90 \cdot 100 - 0 \cdot 51 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1800 \\ 9000 \end{matrix})

\vec{W_{1} W_{2}} \times \vec{W_{1} K_{2}} = (\begin{matrix} 90 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 51 \\ 100 \\ - 20 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1800 \\ 9000 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

\vec{n} = \frac{1}{1800} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1800 \\ 9000 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

W_{1}

ist Aufpunkt):

E : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{W_{1}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{matrix})}}

E : x_{2} + 5 x_{3} = 0 + 0 + 150

E : x_{2} + 5 x_{3} = 150

Geradengleichung aufstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gerade

h

durch

H

senkrecht zur

x_{1} x_{2}

-Ebene:

Schritt einblenden / ausblenden

Richtungsvektor

Der Richtungsvektor der Geraden

h

ist parallel zur

x_{3}

-Koordinatenachse.

h : \vec{X} = \underset{\vec{H}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 50 \\ 70 \\ 15 \end{matrix})}} + μ \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

μ \in ℝ

Schnitt Ebene und Gerade

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Gerade

h

mit Ebene

E

schneiden:

E \cap h

Schritt einblenden / ausblenden

Schnitt Ebene und Gerade

Schneidet eine Gerade

g : \vec{X} = \vec{Q} + λ \cdot \vec{v}

eine Ebene

E

in einem Punkt

P

, dann erfüllt die Geradengleichung für ein bestimmten Wert von

λ

(von

g

) die Normalenform der Ebene

E

.

Man setzt

g

E

ein und löst nach

λ

auf.

Hier wird also

h

E

eingesetzt und nach

μ

aufgelöst.

\begin{matrix} E \cap h : & 70 + 5 \cdot (15 + μ) & = & 150 \\ 70 + 75 + 5 μ & = & 150 \\ 5 μ & = & 5 \\ μ & = & 1 \end{matrix}

Schritt einblenden / ausblenden

Einsetzen

Um den Schnittpunkt zu bestimmen, wird der gefundene

μ

-Wert in die Geradengleichung eingesetzt.

\vec{H^{'}} = (\begin{matrix} 50 \\ 70 \\ 15 \end{matrix}) + 1 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

\Rightarrow

H^{'} (50 | 70 | 16)

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Punkte

H

und

H^{'}

unterscheiden sich nur in der

x_{3}

-Koordinate.

Da

16 > 15

, liegt

H^{'}

oberhalb von

H

Der Punkt

H^{'}

liegt oberhalb von

H

.
Da

H^{'}

auf der Ebene

E

liegt, liegt somit

H

unterhalb der Ebene.

Alle Abituraufgaben

Lösungen zu:

Teilaufgabe Teil A 1a

Teilaufgabe Teil A 1b

Teilaufgabe Teil A 2a

Teilaufgabe Teil A 2b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Lösung als Video:

Lösung als Video

Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

Geradengleichung aufstellen

Schnitt Ebene und Gerade

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

Feedback:

Du hast einen Fehler gefunden oder hast Anregungen zur Internetseite?

Teile uns Dein Feedback mit!