Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil A 1a (2 BE)

Gegeben sind die Ebene

E : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 6

sowie die Punkte

P (1 | 0 | 2)

und

Q (5 | 2 | 6)

Zeigen Sie, dass die Gerade durch die Punkte

P

und

Q

senkrecht zur Ebene

E

verläuft.

Lösung zu Teilaufgabe Teil A 1a

Lagebeziehung Gerade und Ebene

Normalenvektor der Ebene:

E : 2 x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} = 6

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})

Richtungsvektor der Gerade:

\vec{P Q} = \vec{Q} - \vec{P} = (\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 4 \end{matrix}) = 2 \cdot \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})}}

Schritt einblenden / ausblenden

Parallele Vektoren

Zwei Vektoren

\vec{u}

und

\vec{v}

sind genau dann parallel, wenn der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist.
Also genau dann, wenn es ein

k \in ℝ

gibt, so dass gilt:

\vec{u} = k \cdot \vec{v}

\Rightarrow

\vec{n_{E}} ∥ \vec{P Q}

(die Vektoren sind parallel)

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

Gerade durch P und Q steht senkrecht auf E

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Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

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Themen dieser Aufgabe:

Lagebeziehung Gerade und Ebene

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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