Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c (4 BE)

Im Zielpunkt ist die Kamera zunächst senkrecht nach unten orientiert. Um die Position des Balls anzuvisieren, die im Modell durch den Punkt

B (40 | 105 | 0)

beschrieben wird, muss die Kamera gedreht werden. Berechnen Sie die Größe des erforderlichen Drehwinkels.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Winkel zwischen zwei Vektoren

K_{2} (51 | 100 | 10)

B (40 | 105 | 0)

\vec{K_{2} B} = \vec{B} - \vec{K_{2}} = (\begin{matrix} 40 \\ 105 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 51 \\ 100 \\ 10 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 11 \\ 5 \\ - 10 \end{matrix})

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Richtungsvektor

Der Vektor

k

, der die Richtung der Kamera repräsentiert, ist parallel zur

x_{3}

-Achse, da er senkrecht zur

x_{1} x_{2}

-Ebene verläuft.

\vec{k} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})

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Skalarprodukt

Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos α = \frac{\vec{K_{2} B} \circ \vec{k}}{| \vec{K_{2} B} | \cdot | \vec{k} |} = \frac{(\begin{matrix} - 11 \\ 5 \\ - 10 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} - 11 \\ 5 \\ - 10 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) |}

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Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

\cos α = \frac{0 + 0 + 10}{\sqrt{11^{2} + 5^{2} + 10^{2}} \cdot \sqrt{1}} = \frac{10}{\sqrt{246}}

α = \cos^{- 1} (\frac{10}{\sqrt{246}}) \approx 50, 4^{\circ}

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Vektoren

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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