Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie VI

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (4 BE)

Für die Fernsehübertragung eines Fußballspiels wird über dem Spielfeld eine bewegliche Kamera installiert. Ein Seilzugsystem, das an vier Masten befestigt wird, hält die Kamera in der gewünschten Position. Seilwinden, welche die Seile koordiniert verkürzen und verlängern, ermöglichen eine Bewegung der Kamera.
In der Abbildung ist das horizontale Spielfeld modellhaft als Rechteck in der

x_{1} x_{2}

-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems dargestellt. Die Punkte

W_{1}

W_{2}

W_{3}

und

W_{4}

beschreiben die Positionen der vier Seilwinden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität, d. h. alle vier Seilwinden sind in einer Höhe von 30 m angebracht.

Der Punkt

A (45 | 60 | 0)

beschreibt die Lage des Anstoßpunkts auf dem Spielfeld. Die Kamera befindet sich zunächst in einer Höhe von 25 m vertikal über dem Anstoßpunkt. Um den Anstoß zu filmen, wird die Kamera um 19m vertikal abgesenkt. In der Abbildung ist die ursprüngliche Kameraposition durch den Punkt

K_{0}

, die abgesenkte Position durch den Punkt

K_{1}

dargestellt.

Berechnen Sie die Seillänge, die von jeder der vier Seilwinden abgerollt werden muss, um dieses Absenken zu ermöglichen, wenn man davon ausgeht, dass die Seile geradlinig verlaufen.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Länge eines Vektors

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A (45 | 60 | 0)

W_{1} (0 | 0 | 30)

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Erläuterung

Die Kamera befindet sich zunächst in einer Höhe von 25 m vertikal über dem Anstoßpunkt

A

, also sind die

x_{1}

- und

x_{2}

-Koordinaten von

K_{0}

dieselben wie die von

A

und die

x_{3}

-Koordinate ist gleich 25.

Ausgangspunkt der Kamera:

K_{0} (45 | 60 | 25)

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Erläuterung

"Um den Anstoß zu filmen, wird die Kamera um 19 m vertikal abgesenkt."

Die

x_{3}

-Koordinate von

K_{1}

ist die von

K_{0}

minus 19.

Abgesenkte Position:

K_{1} (45 | 60 | \underset{6}{\underset{︸}{25 - 19}})

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Rechteck

Da die Punkte

K_{0}

und

K_{1}

vertikal über

A

liegen (Diagonalschnittpunkt des Spielfeldes), sind alle Seile gleich lang (zu einem bestimmten Zeitpunkt). Es reicht somit nur eine Länge zu bestimmen.

Länge der Seile vor dem Absenken:

\vec{W_{1} K_{0}} = \vec{K_{0}} - \vec{W_{1}} = (\begin{matrix} 45 \\ 60 \\ 25 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 45 \\ 60 \\ - 5 \end{matrix})

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Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{W_{1} K_{0}} | = | (\begin{matrix} 45 \\ 60 \\ - 5 \end{matrix}) | = \sqrt{45^{2} + 60^{2} + 5^{2}} = \sqrt{5650}

Länge der Seile nach dem Absenken:

\vec{W_{1} K_{1}} = \vec{K_{1}} - \vec{W_{1}} = (\begin{matrix} 45 \\ 60 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 30 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 45 \\ 60 \\ - 24 \end{matrix})

| \vec{W_{1} K_{1}} | = | (\begin{matrix} 45 \\ 60 \\ - 24 \end{matrix}) | = \sqrt{45^{2} + 60^{2} + 24^{2}} = \sqrt{6201}

Differenz

= \sqrt{6201} - \sqrt{5650} \approx 3, 6 m

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Themen dieser Aufgabe:

Länge eines Vektors

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