Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B f (3 BE)

Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eine Gleichung dieser Kugel an.
Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B f

Kugel

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Z (3 | 3 | 3)

(Mittelpunkt der Kugel)

r = h_{Pyramide} = 3

(Radius der Kugel)

Schritt einblenden / ausblenden

Kugelgleichung

Die Gleichung einer Kugel

K

mit Mittelpunkt

M

und Radius

r

ist gegeben durch:

K : {[\vec{X} - \vec{M}]}^{2} = r^{2}

K : {[\vec{X} - (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})]}^{2} = 3^{2}

\Leftrightarrow

{(x_{1} - 3)}^{2} + {(x_{2} - 3)}^{2} + {(x_{3} - 3)}^{2} = 9

Volumen einer Kugel

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V_{Kugel} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot r^{3} = \frac{4}{3} \cdot π \cdot 3^{3} = 36 π

Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern

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V_{Oktaeder} = 36

Anteil:

\frac{V_{Oktaeder}}{V_{Kugel}} = \frac{36}{36 π} = \frac{1}{π}

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Kugel

Volumen einer Kugel

Verhältnis der Rauminhalte von Teilkörpern

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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