Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B c (4 BE)

Begründen Sie, dass das Viereck

A B A^{'} B^{'}

ein Quadrat mit der Seitenlänge

3 \sqrt{2}

ist.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B c

Eigenschaften eines Parallelogramms

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Das Viereck

A B A^{'} B^{'}

ist wegen seiner Konstruktion punktsymmetrisch und somit ein Parallelogramm.

Spiegelpunkt

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A (6 | 3 | 3)

B (3 | 6 | 3)

Z (3 | 3 | 3)

Der Punkt

B^{'}

lässt sich analog zum Punkt

C^{'}

aus Teilaufgabe Teil B b bestimmen:

\vec{B^{'}} = \vec{B} + 2 \cdot \vec{B Z}

\vec{B^{'}} = \vec{B} + 2 \cdot [\vec{Z} - \vec{B}]

\vec{B^{'}} = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) + 2 \cdot [(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{matrix})] = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

Länge eines Vektors

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\vec{A B} = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A B^{'}} = \vec{B^{'}} - \vec{A} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

| \vec{A B} | = | (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \cdot 2} = 3 \sqrt{2}

| \vec{A B^{'}} | = | (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) | = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \cdot 2} = 3 \sqrt{2}

\Rightarrow

Alle Seiten sind gleich lang

Lagebeziehung von Vektoren

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\vec{A B} \circ \vec{A B^{'}} = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} - 3 \\ - 3 \\ 0 \end{matrix}) = 9 - 9 + 0 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

\vec{A B} ⊥ \vec{A B^{'}}

\Rightarrow

A B A^{'} B^{'}

ist ein Quadrat

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Lösungen zu:

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Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

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Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Eigenschaften eines Parallelogramms

Spiegelpunkt

Länge eines Vektors

Lagebeziehung von Vektoren

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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