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Teilaufgabe Teil A 2b

Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

Themen-Übersicht

Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a  (4 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(6|3|3)}$, ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(3|6|3)}$ und ${\displaystyle \mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(3|3|6)}$ das gleichseitige Dreieck ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ fest.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, in der das Dreieck ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ liegt, in Normalenform.

[mögliches Ergebnis: ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3-12=0}$]

 

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Lösung als Video

Ebene aus drei Punkte

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Richtungsvektoren der Ebene ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$:

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overrightarrow{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overrightarrow{\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\\ 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}\right)}$

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(6|3|3)}$ sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor ${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}$ der Ebene ${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\times \overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ zweier Vektoren ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist ein Vektor ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\times \overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\\ {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\cdot {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3-{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\cdot {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\cdot {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3\\ {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2-{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\cdot {\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\end{array}\right)}$

In diesem Fall ist:

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\cdot 3-0\\ 0-(-3)\cdot 3\\ 0-3\cdot (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 9\end{array}\right)}$

${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\times \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{C<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 3\\ 0\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 9\end{array}\right)}$

Schritt einblenden / ausblenden

Vereinfachen

Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen.
Vereinfachungen durch Teilen/Multiplizieren durch/mit einen Faktor sind erlaubt.

Hier wird der Normalenvektor durch 9 geteilt.

Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich.

${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}=\frac{1}{9}\cdot \left(\begin{array}{c}9\\ 9\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)}$



Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}\circ \overrightarrow{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}\circ \overrightarrow{\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$


Hier (${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist Aufpunkt):

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\underset{\overrightarrow{{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)}}\circ \overrightarrow{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\circ \underset{\overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}6\\ 3\\ 3\end{array}\right)}}}$

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=6\cdot 1+3\cdot 1+3\cdot 1}$

${\displaystyle \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3-12=0}$

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Teilaufgabe Teil A 1a

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