Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B a (4 BE)

In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte

A (6 | 3 | 3)

B (3 | 6 | 3)

und

C (3 | 3 | 6)

das gleichseitige Dreieck

A B C

fest.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene

E

, in der das Dreieck

A B C

liegt, in Normalenform.

[mögliches Ergebnis:

E : x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0

]

Lösung zu Teilaufgabe Teil B a

Ebene aus drei Punkte

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Richtungsvektoren der Ebene

E

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix})

\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

A (6 | 3 | 3)

sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene

E

Ebenengleichung in Normalenform

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

Normalenvektor

\vec{n_{E}}

der Ebene

E

bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Vektorprodukt

Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

\vec{a} \times \vec{b}

zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

ist ein Vektor

\vec{n}

, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht.

Für die komponentenweise Berechnung gilt:

\vec{a} \times \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} \cdot b_{3} - a_{3} \cdot b_{2} \\ a_{3} \cdot b_{1} - a_{1} \cdot b_{3} \\ a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1} \end{matrix})

In diesem Fall ist:

(\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \cdot 3 - 0 \\ 0 - (- 3) \cdot 3 \\ 0 - 3 \cdot (- 3) \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 \\ 9 \\ 9 \end{matrix})

\vec{A B} \times \vec{A C} = (\begin{matrix} - 3 \\ 3 \\ 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 \\ 9 \\ 9 \end{matrix})

Schritt einblenden / ausblenden

\Rightarrow

\vec{n_{E}} = \frac{1}{9} \cdot (\begin{matrix} 9 \\ 9 \\ 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Ebenengleichung in Normalenform bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Normalenform einer Ebene

Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt

P

aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt.

E : \vec{n_{E}} \circ \vec{X} = \vec{n_{E}} \circ \vec{P}

Hier (

A

ist Aufpunkt):

E : \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}} \circ \vec{X} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \circ \underset{\vec{A}}{\underset{︸}{(\begin{matrix} 6 \\ 3 \\ 3 \end{matrix})}}

E : x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 1

E : x_{1} + x_{2} + x_{3} - 12 = 0

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Teilaufgabe Teil B a

Teilaufgabe Teil B b

Teilaufgabe Teil B c

Teilaufgabe Teil B d

Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

Lösung als Video:

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Themen dieser Aufgabe:

Ebene aus drei Punkte

Ebenengleichung in Normalenform

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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