Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B e (4 BE)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels zwischen den Seitenflächen

A B C

und

A C^{'} B

Lösung zu Teilaufgabe Teil B e

Winkel zwischen zwei Ebenen

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Erläuterung

Begründung:

- Die Seitenfläche

A B C

liegt in der Ebene

E

(s. Teilaufgabe Teil B a).

- Die Ebene, in der die Punkte A, B und Z (Symmetriezentrum) liegen, ist parallel zur

x_{1} x_{2}

-Ebene (s. Teilaufgabe Teil B b).

- Die Ebene in der die Seitenfläche

A C^{'} B

liegt, bildet mit der

x_{1} x_{2}

-Ebene aus Symmetrie-Gründen den gleichen Winkel, wie die Ebene

E

und die

x_{1} x_{2}

-Ebene.

Der gesucht Winkel

φ

entspricht zweimal den Winkel zwischen der Ebene

E

(aus Teilaufgabe Teil B a) und der

x_{1} x_{2}

-Ebene.

Normalenvektor der Ebene

E

\vec{n_{E}} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

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Normalenvektor

Der Normalenvektor einer Ebene steht senkrecht auf diese Ebene und hat eine beliebige Länge.

Im Falle der

x_{1} x_{2}

-Ebene (Koordinatenebene) wählt man z.B. als Normalenvektor den Einheitsvektor

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

, der auch Richtungsvektor der

x_{3}

-Achse ist.

Normalenvektor der

x_{1} x_{2}

-Ebene:

\vec{n} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

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Winkel zwischen zwei Ebenen

Der Winkel

α

zwischen zwei Ebenen

E

und

G

ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren

\vec{n_{E}}

und

\vec{n_{G}}

Winkel

φ

zwischen den Seitenflächen bestimmen:

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Winkel zwischen zwei Vektoren

Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren

\vec{a}

und

\vec{b}

\vec{a} \circ \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos \underset{α}{\underset{︸}{∡ (\vec{a}, \vec{b})}}

folgt für den Winkel

α

zwischen den beiden Vektoren:

\cos α = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}

(Formel zur Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren)

\cos \frac{φ}{2} = \frac{(\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})}{| (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) |}

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Betrag eines Vektors

Die Länge (bzw. der Betrag)

| \vec{a} |

eines Vektors

\vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

ist gegeben durch:

| \vec{a} | = | (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) | = \sqrt{{(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})}^{2}} = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

\cos \frac{φ}{2} = \frac{0 + 0 + 1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}

\Rightarrow

\frac{φ}{2} = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{3}}) \approx 54, 74^{\circ}

\Rightarrow

φ = 109, 48^{\circ}

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Themen dieser Aufgabe:

Winkel zwischen zwei Ebenen

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