Lösung Abitur Bayern 2016 Mathematik Analytische Geometrie V

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe Teil B d (2 BE)

Der Körper

A B A^{'} B^{'} C C^{'}

ist ein sogenanntes Oktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mit dem Quadrat

A B A^{'} B^{'}

als gemeinsamer Grundfläche und den Pyramidenspitzen

C

bzw.

C^{'}

Weisen Sie nach, dass das Oktaeder das Volumen 36 besitzt.

Lösung zu Teilaufgabe Teil B d

Volumen einer Pyramide

C (3 | 3 | 6)

C (3 | 3 | 0)

| \vec{A B} | = 3 \sqrt{2}

(s. Teil B Teilaufgabe c)

V_{Oktaeder} = 2 \cdot V_{Pyramide}

Schritt einblenden / ausblenden

Volumen einer Pyramide

Eine Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

hat ein Volumen von:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V_{Oktaeder} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Schritt einblenden / ausblenden

Erläuterung

Die Grundfläche der Pyramide ist ein Quadrat mit Seitenfläche

\bar{A B}

[C C^{'}]

steht senkrecht auf die Grundfläche, deswegen entspricht die Höhe der Pyramide der Hälfte der Strecke

[C C^{'}]

V_{Oktaeder} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot {\bar{A B}}^{2} \cdot \frac{\bar{C C}}{2}

Schritt einblenden / ausblenden

Länge eines Vektors

Die Punkte

C

und

C^{'}

unterscheiden sich nur in der

x_{3}

-Koordinate. Ihr Abstand ist also gleich 6.

Alternativ:

\vec{C C^{'}} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 6 \end{matrix})

\Rightarrow

| \vec{C C^{'}} | = \sqrt{0 + 0 + 36} = 6

V_{Oktaeder} = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (3 \sqrt{2})^{2} \cdot \frac{6}{2} = 36

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Teilaufgabe Teil B e

Teilaufgabe Teil B f

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen einer Pyramide

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Tipp:

Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.

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