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Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik NT Stochastik S II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 2.2  (3 BE)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ${\displaystyle \overline{\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und beschreiben Sie dieses Ereignis möglichst einfach in Worten.

 

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Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 2.1:

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De Morgansche Gesetze

Gesetze von De Morgan (s. auch Merkhilfe Mathematik):

${\displaystyle \overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \overline{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cup \overline{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$


In diesem Fall: ${\displaystyle \overline{\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\underset{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\underbrace{\overline{\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}}}\cup \overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

${\displaystyle \overline{\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

"Anna trifft oder Eva trifft nicht".

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\overline{\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$

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Satz von Sylvester

Satz von Sylvester (s. auch Merkhilfe Mathematik):

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cup \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>})=\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\overline{\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>})+\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)-\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$

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Erläuterung

Die Werte für ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}$, ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$ und ${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cap \overline{\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$ können direkt von der Vierfeldertafel abgelesen werden.

${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\overline{\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=0,32+0,35-0,112=0,558}$

Alternative Lösung

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${\displaystyle \mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\overline{\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)=1-\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=1-0,442=0,558}$

${\displaystyle \overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$: "Anna trifft nicht und Eva trifft"

${\displaystyle \overline{\overline{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\cap \mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$: Komplement zu "Anna trifft nicht und Eva trifft" = "Anna trifft oder Eva trifft nicht"

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