Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik NT Stochastik S II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.4 (4 BE)

Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße

X

und interpretieren Sie den Erwartungswert im Sinne der vorliegenden Thematik.

Lösung zu Teilaufgabe 1.4

Erwartungswert einer Zufallsgröße

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Wahrscheinlichkeitsverteilung aus Teilaufgabe 1.3:

Schritt einblenden / ausblenden

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße

X

die Werte

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

an, so gilt für den Erwartungswert dieser Zufallsgröße:

E (X) = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P (X = x_{i}) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

E (X) = 2 \cdot \frac{27}{36} + 0 \cdot \frac{5}{36} - 7 \cdot \frac{2}{36} - 16 \cdot \frac{2}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9} \approx 0, 22

\Rightarrow

Der Festwirt erwartet pro Spiel durchschnittlich einen Reingewinn von 22 Cent.

Standardabweichung einer Zufallsgröße

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Varianz bestimmen:

Schritt einblenden / ausblenden

Varianz einer Zufallsgröße

Nimmt eine Zufallsgröße

X

die Werte

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten

p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}

an, so gilt für die Varianz dieser Zufallsgröße:

V a r (X) = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2} \cdot p_{i}

(

μ = E (X) =

Erwartungswert von

X

)

V a r (X) = {(x_{1} - μ)}^{2} \cdot p_{1} + {(x_{2} - μ)}^{2} \cdot p_{2} + \dots + {(x_{n} - μ)}^{2} \cdot p_{n}

V a r (X) = {(2 - \frac{8}{36})}^{2} \cdot \frac{27}{36} + {(0 - \frac{8}{36})}^{2} \cdot \frac{5}{36} + {(- 7 - \frac{8}{36})}^{2} \cdot \frac{2}{36} + {(- 16 - \frac{8}{36})}^{2} \cdot \frac{2}{36} = \frac{3223}{162}

Standardabweichung bestimmen:

σ = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{\frac{3223}{162}} \approx 4, 46

Alternative Lösung

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Berechnung der Varianz über die Verschiebungsregel:

E (X^{2}) = 2^{2} \cdot \frac{27}{36} + 0^{2} \cdot \frac{5}{36} + (- 7)^{2} \cdot \frac{2}{36} + (- 16)^{2} \cdot \frac{2}{36} = \frac{359}{18}

V a r (X) = E (X^{2}) - μ^{2} = \frac{359}{18} - {(\frac{2}{9})}^{2} = \frac{3223}{162}

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Themen dieser Aufgabe:

Erwartungswert einer Zufallsgröße

Standardabweichung einer Zufallsgröße

Alternative Lösung

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