Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 4.1 (3 BE)

Das Dreieck

A B C

in untenstehender Abbildung rotiert um die y-Achse, und dabei entsteht ein Kegel. Der Punkt

A

ist der Ursprung des Koordinatensystems und der Punkt

B

liegt im I. Quadranten auf der Parabel

G_{q}

mit

q (x) = - x^{2} + 8 x

und

x \in ℝ

Stellen Sie eine Gleichung

V (r)

für das Volumen des Kegels auf, wobei

r = \bar{B C}

der Radius des Kegels ist.
[Mögliches Ergebnis:

V (r) = - \frac{1}{3} π r^{4} + \frac{8}{3} π r^{3}

]

Lösung zu Teilaufgabe 4.1

Volumen eines Kegels

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Die

x

-Koordinate vom Punkt

B

entspricht dem Radius des Kegels, also

x_{B} = r

.

Die

y

-Koordinate vom Punkt

B

entspricht dem Wert der Funktion

q

an der Stelle

x_{B}

, also

y_{B} = q (r)

B (r | q (r))

\Rightarrow

B (r | - r^{2} + 8 r)

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Volumen eines Kegels

Das Volumen eines Kegels mit Grundfläche

G

und Höhe

h

ist gegeben durch:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Ist

r

der Radius der Kreisfläche (Grundfläche), so gilt für das Volumen:

V = \frac{1}{3} π \cdot r^{2} \cdot h

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

V = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot \underset{y_{B}}{\underset{︸}{h}}

V = \frac{1}{3} π r^{2} \cdot (- r^{2} + 8 r)

V = - \frac{1}{3} π r^{4} + \frac{8}{3} π r^{3}

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Themen dieser Aufgabe:

Volumen eines Kegels

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