Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 1.1 (6 BE)

Gegeben sind die ganzrationalen Funktionen

f_{a} : x \mapsto a \cdot (x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4)

mit

D_{f_{a}} = ℝ

a \in ℝ

und

a > 0

Zerlegen Sie

f_{a} (x)

in Linearfaktoren und geben Sie die Nullstellen der Funktion

f_{a}

mit der jeweiligen Vielfachheit an.

Lösung zu Teilaufgabe 1.1

Nullstellen einer Funktion

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{a} (x) = a \cdot (x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4)

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Nullstellen

Der Ansatz, um die Nullstellen (die Schnittpunkte einer Funktion

f

mit der

x

-Achse) zu bestimmen, lautet stets:

f (x) = 0

Die Gleichung muss anschließend nach

x

aufgelöst werden.

Ansatz:

f_{a} (x) = 0

a \cdot (x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4) = 0

x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4 = 0

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Lösen einer Gleichung dritten Grades

Das Lösen einer Gleichung dritten Grades (auf der rechten Seite muss die Null stehen) setzt voraus, dass bereits eine Lösung bekannt ist. Ist dies nicht der Fall, so muss eine Lösung durch Ausprobieren geraten werden (für

x

werden die Werte

\pm 1

\pm 2

\pm 3

\pm 4

, etc. eingesetzt).

Hat man eine Lösung gefunden, so teilt man mittels Polynomdivision den Term links des Gleichheitszeichens durch die bekannte Lösung.

Erste Nullstelle durch "Ausprobieren":

x_{1}^{N} = 1

Polynomdivision durchführen:

(x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4) : (x - 1)

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Polynomdivision

Polynome lassen sich in Summenschreibweise oder auch faktorisiert schreiben. Das Polynom

x^{2} + x - 2

beispielsweise lässt sich in Faktoren folgendermaßen schreiben:

x^{2} + x - 2 = (x + 2) (x - 1)

x_{1} = - 2

und

x_{2} = 1

sind dabei die Nullstellen des Polynoms.

Bei einer Polynomdivision ist bereits eine Nullstelle bekannt. Wir haben zum Beispiel durch Rechnung oder durch Ausprobieren herausgefunden, dass

x = 1

eine Nullstelle dieses Polynoms ist. Die zweite noch nicht bekannte Lösung, erhalten wir durch Polynomdivision.

x^{2} + 3 x - 4 = 0

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Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form

a x^{2} + b x + c = 0

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{2, 3} = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2} = \frac{- 3 \pm 5}{2}

x_{2}^{N} = \frac{- 3 - 5}{2} = - 4

x_{3}^{N} = \frac{- 3 + 5}{2} = 1

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Linearfaktorzerlegung

Die Linearfaktorzerlegung einer Polynomfunktion dritten Grades mit den Nullstellen

x_{1}

x_{2}

und

x_{3}

lautet:

f (x) = a \cdot (x - x_{1}) \cdot (x - x_{2}) \cdot (x - x_{3})

a \in ℝ

a

stellt den Leitkoeffizienten dar.

Im Falle, dass eine doppelte Nullstelle (z.B.

x_{1} = x_{3}

) vorliegt:

f (x) = a \cdot (x - x_{2}) \cdot {(x - x_{1})}^{2}

Linearfaktoren:

f_{a} (x) = a \cdot (x + 4) \cdot (x - 1)^{2}

Vielfachheit von Nullstellen

weitere Abituraufgaben zu diesem Thema

f_{a} (x) = a \cdot (x + 4) \cdot (x - 1)^{2}

x = - 4

ist eine einfache Nullstelle.

x = 1

ist eine doppelte Nullstelle.

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Themen dieser Aufgabe:

Nullstellen einer Funktion

Vielfachheit von Nullstellen

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