Lösung Abitur Bayern 2015 Mathematik NT Infinitesimalrechnung A II

zur Angabe dieser Abituraufgabe

Teilaufgabe 3.2 (9 BE)

Berechnen Sie die Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen der Funktionen

p

und

f

(mit

f

aus 2.1) und zeichnen Sie die Parabel

G_{p}

für

- 4 \leq x \leq 4

in das vorhandene Koordinatensystem ein.

Lösung zu Teilaufgabe 3.2

Schnittpunkt zweier Funktionen

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Schritt einblenden / ausblenden

Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen

Die Graphen zweier Funktionen schneiden sich dort, wo sie ein übereinstimmendes Wertepaar

(x, y)

, einen gemeinsamen Punkt, besitzen.

Man setzt die Funktionsgleichungen gleich und löst nach

x

auf.

p (x) = f (x)

\frac{1}{2} \cdot (x^{2} + \frac{1}{4} x + 1) = \frac{1}{8} (x^{3} + 2 x^{2} - 7 x + 4)

\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{8} x + \frac{1}{2} = \frac{1}{8} x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} - \frac{7}{8} x + \frac{1}{2}

| - (\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{8} x + \frac{1}{2})

0 = \underset{\begin{matrix} f (x) - p (x) \end{matrix}}{\underset{︸}{\frac{1}{8} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} - x}}

0 = x \cdot (\frac{1}{8} x^{2} - \frac{1}{4} x - 1)

Schritt einblenden / ausblenden

Produkt gleich Null setzen

Das Produkt zweier Terme

a

und

b

ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer der Terme Null ist:

a \cdot b = 0

\Leftrightarrow

a = 0

und/oder

b = 0

Alle Terme werden einzeln untersucht.

x_{1}^{S} = 0

y_{1}^{S} = p (0) = 0, 5

2 .

\frac{1}{8} x^{2} - \frac{1}{4} x - 1 = 0

Schritt einblenden / ausblenden

Mitternachtsformel - Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form

a x^{2} + b x + c = 0

x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

x_{2, 3}^{S} = \frac{\frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16} - 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot (- 1)}}{2 \cdot \frac{1}{8}} = \frac{\frac{1}{4} \pm \frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 1 \pm 3

\Rightarrow

x_{2}^{S} = - 2

y_{2}^{S} = p (- 2) = 2, 25

\Rightarrow

x_{3}^{S} = 4

y_{3}^{S} = p (4) = 9

Schnittpunkte:

{SP}_{1} (0 | 0, 5)

{SP}_{2} (- 2 | 2, 25)

{SP}_{3} (4 | 9)

Skizze

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